電機(jī)工程學(xué)和電子工程學(xué)
在電機(jī)工程學(xué)和電子工程學(xué)里,歐姆定律妙用無窮,因?yàn)樗軌蛟诤暧^層次表達(dá)電壓與電流之間的關(guān)系,即電路元件兩端的電壓與通過的電流之間的關(guān)系。
物理學(xué)
在物理學(xué)里,對于物質(zhì)的微觀層次電性質(zhì)研究,會(huì)使用到的歐姆定律,以矢量方程表達(dá),處于均勻外電場的均勻截面導(dǎo)電體(例如,電線)。 
歐姆定律1
在導(dǎo)體內(nèi)任意兩點(diǎn)g、h,定義電壓為將單位電荷從點(diǎn)g移動(dòng)到點(diǎn)h,電場力所需做的機(jī)械功: 
歐姆定律
其中,Vgh是電壓,w是機(jī)械功,q是電荷量,dL 是微小線元素。 假設(shè),沿著積分路徑,電流密度J=jI為均勻電流密度,并且平行于微小線元素:
dL=dlI;其中,I是積分路徑的單位矢量。
那么,可以得到電壓:
Vgh=Jρl;其中,l是積分路徑的徑長。
假設(shè)導(dǎo)體具有均勻的電阻率,則通過導(dǎo)體的電流密度也是均勻的:
J=I/a;(黑體字部分為矢量(臺(tái)灣稱做向量)其中,a是導(dǎo)體的截面面積。 電壓Vgh簡寫為V。電壓與電流成正比:
V=Vgh=Iρl/a??偨Y(jié),電阻與電阻率的關(guān)系為
R= ρl/a。假設(shè)J> 0 ,則V> 0 ;將單位電荷從點(diǎn)g移動(dòng)到點(diǎn)h,電場力需要作的機(jī)械功w> 0 。所以,點(diǎn)g的電勢比點(diǎn)h的電勢高,從點(diǎn)g到點(diǎn)h的電勢差為V。從點(diǎn)g到點(diǎn)h,電壓降是V;從點(diǎn)h到點(diǎn)g,電壓升是V。 給予一個(gè)具有完美晶格的晶體,移動(dòng)于這晶體的電子,其運(yùn)動(dòng)等價(jià)于移動(dòng)于自由空間的具有有效質(zhì)量(effective mass)的電子的運(yùn)動(dòng)。所以,假設(shè)熱運(yùn)動(dòng)足夠微小,周期性結(jié)構(gòu)沒有偏差,則這晶體的電阻等于零。但是,真實(shí)晶體并不完美,時(shí)常會(huì)出現(xiàn)晶體缺陷(crystallographic defect),有些晶格點(diǎn)的原子可能不存在,可能會(huì)被雜質(zhì)侵占。這樣,晶格的周期性會(huì)被擾動(dòng),因而電子會(huì)發(fā)生散射。另外,假設(shè)溫度大于絕對溫度,則處于晶格點(diǎn)的原子會(huì)發(fā)生熱震動(dòng),會(huì)有熱震動(dòng)的粒子,即聲子,移動(dòng)于晶體。溫度越高,聲子越多。聲子會(huì)與電子發(fā)生碰撞,這過程稱為晶格散射(lattice scattering)。主要由于上述兩種散射,自由電子的流動(dòng)會(huì)被阻礙,晶體因此具有有限電阻。 凝聚態(tài)物理學(xué)研究物質(zhì)的性質(zhì),特別是其電子結(jié)構(gòu)。在凝聚態(tài)物理學(xué)里,歐姆定律更復(fù)雜、更廣義的方程非常重要,屬于本構(gòu)方程(constitutive equation)與運(yùn)輸系數(shù)理論(theory of transport coefficients)的范圍。