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功
本詞條是多義詞，共2個(gè)義項(xiàng)
物理學(xué)中表示力對(duì)位移累積的量
單位定義
功
功的定義（一維）
在一維運(yùn)動(dòng)（即在一條直線上的運(yùn)動(dòng)）中，如果物體因?yàn)榱從A運(yùn)動(dòng)到B，位移了x，物體做了W的功。
定義為F在一小段位移dx下做的功為dW。
兩端積分：，這是功的一般定義。
積分可代換為。（其中和分別是物體在A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度）
如果物體受到的力合力為F，而初運(yùn)動(dòng)和末運(yùn)動(dòng)的位移方向與F相同，那么這個(gè)物體做正功；
如果物體受到的力合力為F，而初運(yùn)動(dòng)和末運(yùn)動(dòng)的位移方向與F相反，那么這個(gè)物體做負(fù)功；
功是標(biāo)量，功的正負(fù)不代表大小，
的功比
的功小。
功的定義（三維）
在三維運(yùn)動(dòng)（即在一個(gè)空間中的運(yùn)動(dòng)）中，如果物體因?yàn)榱從A運(yùn)動(dòng)到B，位移了r，物體做了W的功,
根據(jù)牛頓第二定律：
速度定義式：
加速度定義式：
我們把三維運(yùn)動(dòng)分解為三個(gè)方向的一維運(yùn)動(dòng)，就有計(jì)算公式：
速度的x，y，z正方向的投影用下標(biāo)表示。
功的公式
推導(dǎo)：
在二維運(yùn)動(dòng)中，
F是恒定力（即始終不改變的力），s是物體位移，從A到B，α是F與x軸夾角，θ是s與x軸夾角，如果我們令
，那么只需要取s是正方向，垂直于s的是y軸就可以了，那么第二項(xiàng)就為0，
，故
做功的兩個(gè)因素：
1.作用在物體上的力
2.物體在這個(gè)力的方向上移動(dòng)的距離
注：功的公式只能計(jì)算一個(gè)力或一個(gè)合力所做的功，如要算總功，需用速度與質(zhì)量的公式。
單位解釋
如果一個(gè)力作用在物體上，物體在這個(gè)力的方向上移動(dòng)了一段距離，力學(xué)里就說這個(gè)力做了功。即使存在力，也可能沒有做功。例如，在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心力沒有做功，因?yàn)樽?/span>圓周運(yùn)動(dòng)的物體的動(dòng)能沒有發(fā)生變化。同樣的，桌上的一本書，盡管桌對(duì)書有支持力，但因沒有位移而沒有做功。
總的來(lái)說不做功的情況有三種：不勞無(wú)功、有勞無(wú)功和垂直無(wú)功。（不勞無(wú)功：只移動(dòng)了距離，但在這移動(dòng)的方向上沒產(chǎn)生力，即
焦耳；有勞無(wú)功：只有力，卻在力的方向上沒有移動(dòng)一定的距離，
焦耳；垂直無(wú)功：物體既受到力，又通過一段距離，但兩者方向互相垂直，
焦耳。）
熱傳導(dǎo)不被認(rèn)為是做功，因?yàn)槟芰勘晦D(zhuǎn)化成了微觀原子的振動(dòng)而非宏觀的位移。
PS：功的實(shí)質(zhì)就是力的空間累積。
基本信息
5
離后所產(chǎn)生的效應(yīng)，而定義出功的概念。
功是標(biāo)量，所以功的正、負(fù)不表示方向。功的正負(fù)也不表示功的大小。它僅僅表示是動(dòng)力對(duì)物體做功還是阻力對(duì)物體做功，或者說是表示力對(duì)物體做了功還是物體克服這個(gè)力做了功。若要比較做功的多少，則要比較功的絕對(duì)值，絕對(duì)值大的做功多，絕對(duì)值小的做功少。功是能量變化的量度，做功的多少反映了能量變化的多少，功的正負(fù)則反映了能量轉(zhuǎn)化的方向（注意：不是空間的方向）
判斷一個(gè)力對(duì)物體是否做功，可根據(jù)該力和物體位移方向的夾角是否為90°，或力與物體速度方向的夾角是否總是90°來(lái)確認(rèn)力是否對(duì)物體做功。夾角大于90°時(shí)功為負(fù)，夾角小于90°時(shí)功為正。所以力的作用是相互的。距離是兩物體之間的差。機(jī)械功W=Fs。
國(guó)際單位
單位內(nèi)容
功等于力與物體在力的方向上通過距離的乘積。
對(duì)于一移動(dòng)的物體而言，作功量/時(shí)間可以從距離/時(shí)間（即速度V）來(lái)計(jì)算。因此，在任何時(shí)刻，力所作的功率（焦耳/秒、瓦），其值為力的標(biāo)量積（矢量）和作用點(diǎn)上的速度矢量。力的標(biāo)量積和速度被歸類為瞬時(shí)功率。
而正如速度可能會(huì)隨著時(shí)間的推移以獲得更長(zhǎng)的距離，同一條路徑上的總功率也同樣是作用點(diǎn)沿著同一條路徑上之瞬時(shí)功率的時(shí)間積分的總和。
功是指質(zhì)點(diǎn)受外力作用位移而產(chǎn)生的量，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，它沿著曲線X和速度V在所有的時(shí)間t。少量的功W發(fā)生在瞬時(shí)時(shí)間t能夠?qū)懗桑?/span>
其中F.v是在t內(nèi)的瞬時(shí)功率，這些少量功的總合超過該質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位移所產(chǎn)生的功量。
其中C的位移是從x（t1）到x（t2），計(jì)算質(zhì)點(diǎn)位移的積分。
如果力的方向總是沿著這條線，力的大小為F，那么此積分可簡(jiǎn)化為:
其中s是沿著直線的位移，假設(shè)F固定，且沿著此直線，則此積分可進(jìn)一步簡(jiǎn)化成：
其中d是質(zhì)點(diǎn)沿著直線前進(jìn)的距離。
此計(jì)算可歸納為恒定力并非延著線而是沿著質(zhì)點(diǎn)。在此情況下點(diǎn)的乘積F·
，其中θ是力矢量和運(yùn)動(dòng)方向之間的角度。即：
一般常見的情況，施加的力和速度矢量對(duì)身體成90角（中央力朝下身體繞一圓圈運(yùn)動(dòng)），由于
為0，所以不作功。因此可以延伸至重力對(duì)于星球在圓形軌道上運(yùn)動(dòng)不作功（此為理想情況，一般情況下軌道略呈橢圓形）。
計(jì)算功在時(shí)間和力作用在一直線路徑上的數(shù)值只適用在最簡(jiǎn)單的情況下，如上文所述。如果力會(huì)變化，或身體延曲線方向移動(dòng)，物體可能轉(zhuǎn)動(dòng)甚至并非剛性物體，那么其所作的功只和作用力的角度、路徑有關(guān)，并且只有部分的力平行在作用點(diǎn)上形成的速度才作功（相同方向?yàn)檎捶较驗(yàn)樨?fù)值），此處的力可以被描述為標(biāo)量或是切線分量的標(biāo)量。（
，其中θ是力和速度之間的夾角）。
至于功最普遍的定義如下：力所的功是其延著作用點(diǎn)上的路徑之切線分量的標(biāo)量也就是線性積分。
轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)動(dòng)
轉(zhuǎn)矩是從相等但方向相反的力作用于剛性體上兩個(gè)不同的點(diǎn)所形成。這些力總合為零，但它會(huì)對(duì)物體影響形成轉(zhuǎn)矩Τ，計(jì)算作功形成的轉(zhuǎn)矩公式為：
，其中T.ω是作用在時(shí)間點(diǎn)t上。這些少量的功之合大于剛性體運(yùn)動(dòng)軌跡所產(chǎn)生的功。
如果角速度矢量保持恒定的方向，那么可以寫成：
，其中φ為轉(zhuǎn)動(dòng)角度，單位矢量S。在此情況下，功的轉(zhuǎn)矩可寫成：
，其中C是從φ（t1）到φ（t2）的運(yùn)動(dòng)軌跡。此積分取決于φ（t）的值，因此與路徑相關(guān)。
如果轉(zhuǎn)矩T與角速度矢量一致，那么可寫成：
而且若轉(zhuǎn)矩和角速度是恒定的，那么功可寫成這個(gè)形式：
Aforceofconstantmagnitudeandperpendiculartotheleverarm
此結(jié)果可以更簡(jiǎn)單的理解，如圖所示。這股力將通過圓弧的距離
，所作的功即是：
，導(dǎo)出轉(zhuǎn)矩
，得：
以上，請(qǐng)注意只有轉(zhuǎn)矩在角速度矢量方向的部分才有作功。
力與位移
力與位移都是矢量。功是力與位移的內(nèi)積，為標(biāo)量。
（1）
其中是力矢量和位移矢量的夾角。
為使此式正確，力須為常矢量，路徑須為一條直線。
如力隨時(shí)間變化或路徑不為直線，上式不再適用，此時(shí)需使用曲線積分。故功的一般公式為：
（2）
其中
是路徑；
力矩
力矩所做功可由下式計(jì)算得到：
其中為力矩。
計(jì)算方式
功
電功的計(jì)算公式：
；
；
任何機(jī)械都只能省力（或省距離）不能省功。
下面是不同物理位移線方向的功：
其中，W表示功，F(xiàn)表示力，α為力與位移之間的夾角。
由于物體的運(yùn)動(dòng)具有相對(duì)性，對(duì)不同參照系，位移不同，所以力所做的功與參照系的選取有關(guān)
功的原理
內(nèi)容：使用任何機(jī)械都不省功。
表達(dá)式：
(理想實(shí)驗(yàn)，忽略摩擦繩重等）
力與位移
力與位移都是矢量。功是力與位移的內(nèi)積，為標(biāo)量。
(1)其中θ是力矢量和位移矢量的夾角。
為使此式正確，力須為常矢量，路徑須為一條直線。
如力隨時(shí)間變化或路徑不為直線，上式不再適用，此時(shí)需使用線積分。故功的一般公式為：
(2)其中C是路徑；是力矢量；是位移矢量。表達(dá)式是一個(gè)非恰當(dāng)微分，與路徑有關(guān)，求微分后不能得到。
非零力可以不做功，這一點(diǎn)與沖量不同。沖量是力對(duì)時(shí)間的累積。沖量是矢量，所以圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)雖向心力不做功，但產(chǎn)生了對(duì)物體的非零沖量。
力矩所做功可由下式計(jì)算得到：
其中為力矩。
與能的關(guān)系
一個(gè)物體對(duì)外做了多少功，它就減少了多少能量。反之，外界對(duì)一個(gè)物體做了多少功，這個(gè)物體的能量就增加了多少。（功與能單位相同）
比較快慢
方法一：
做功相同，比時(shí)間。時(shí)間越短，做功越快。
方法二：
時(shí)間相同，比做功。做功越多，做功越快。
方法三：
做功和時(shí)間均不相同，比比值。做功/時(shí)間的值越大，做功越快。
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