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微積分學是數(shù)學中的基礎分支，它研究函數(shù)、極限、微分學、積分學及其應用。在17世紀后半葉，英國數(shù)學家艾薩克·牛頓和德國數(shù)學家G.W.萊布尼茲總結和發(fā)展了幾百年間前人的工作，建立了微積分。微積分學是一個非常重要的數(shù)學分支，它在自然科學、工程學、計算機科學、經(jīng)濟學等領域都有廣泛的應用。微積分學
數(shù)學中的基礎分支
微積分學
歷史背景
數(shù)學中的轉折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分學和積分學也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產(chǎn)生，并且是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發(fā)明的?！?/span>恩格斯
從15世紀初歐洲文藝復興時期起，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易的大規(guī)模發(fā)展，形成了一個新的經(jīng)濟時代，宗教改革與對教會思想禁錮的懷疑，東方先進的科學技術通過阿拉伯的傳入，以及拜占庭帝國覆滅后希臘大量文獻的流入歐洲，在當時的知識階層面前呈現(xiàn)出一個完全嶄新的面貌。而十六世紀的歐洲，正處在資本主義萌芽時期，生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展，生產(chǎn)實踐的發(fā)展向自然科學提出了新的課題，迫切要求力學、天文學等基礎學科的發(fā)展，而這些學科都是深刻依賴于數(shù)學的，因而也推動了數(shù)學的發(fā)展?？茖W對數(shù)學提出的種種要求，最后匯總成多個核心問題：
（1）運動中速度與距離的互求問題
即，已知物體移動的距離S表為時間的函數(shù)的公式
（2）求曲線的切線問題
這個問題本身是純幾何的，而且對于科學應用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光學是十七世紀的一門較重要的科學研究，透鏡的設計者要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線入射透鏡的角度以便應用反射定律，這里重要的是光線與曲線的法線間的夾角，而法線是垂直于切線的，所以總是就在于求出法線或切線；另一個涉及到曲線的切線的科學問題出現(xiàn)于運動的研究中，求運動物體在它的軌跡上任一點上的運動方向，即軌跡的切線方向。
（3）求長度、面積、體積、與重心問題等
這些問題包括，求曲線的長度（如行星在已知時期移動的距離），曲線圍成的面積，曲面圍成的體積，物體的重心，一個相當大的物體（如行星）作用于另一物體上的引力。實際上，關于計算橢圓的長度的問題，就難住數(shù)學家們，以致有一段時期數(shù)學家們對這個問題的進一步工作失敗了，直到下一世紀才得到新的結果。又如求面積問題，早在古希臘時期人們就用窮竭法求出了一些面積和體積，如求拋物線在區(qū)間[0，1]上與x軸和直線
（4）求最大值和最小值問題
炮彈在炮筒里射出，它運行的水平距離，即射程，依賴于炮筒對地面的傾斜角，即發(fā)射角。一個“實際”的問題是求能獲得最大射程的發(fā)射角。十七世紀初期，Galileo斷定（在真空中）最大射程在發(fā)射角是
創(chuàng)立過程
早期思想
在3世紀，中國數(shù)學家劉徽創(chuàng)立的割圓術用圓內(nèi)接正九十六邊形的面積近似代替圓面積，求出圓周率π的近似值3.141024，并指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣”。劉徽對面積的深刻認識和他的割圓術方法，正是極限思想的具體體現(xiàn)。數(shù)列極限是函數(shù)極限的基礎，一個數(shù)列
微分學
微分學的基本概念是導數(shù)。導數(shù)是從速度問題和切線問題抽象出來的數(shù)學概念。牛頓從蘋果下落時越落越快的現(xiàn)象受到啟發(fā)，希望用數(shù)學工具來刻畫這一事實。若用
積分學
積分學的基本概念是一元函數(shù)的不定積分和定積分。主要內(nèi)容包括積分的性質(zhì)、計算，以及在理論和實際中的應用。不定積分概念是為解決求導和微分的逆運算而提出來的。如果對每一
聯(lián)系微分學和積分學的基本公式是：若f(x)在[a，b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則
客觀價值
客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數(shù)學中引入了變量的概念后，就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學來加以描述了。
由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深，也由于科學技術發(fā)展的需要，一門新的數(shù)學分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學。微積分學這門學科在數(shù)學發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學中的最大的一個創(chuàng)造。
產(chǎn)生與發(fā)展
微積分的產(chǎn)生一般分為三個階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學家一直追溯到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻。對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國也有萌芽，甚至不次于古希臘。
微分早期
古希臘數(shù)學家、力學家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有積分學的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉雙曲線所得的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。
極限思想
公元前4世紀《墨經(jīng)》中有了有窮、無窮、無限小（最小無內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。
公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎的極限理論來說，在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。
微積分思想
微積分思想雖然可追溯到古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學家沈括的《夢溪筆談》獨創(chuàng)了“隙積術”、“會圓術”和“棋局都數(shù)術”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和的研究。
特別是13世紀40年代到14世紀初，在主要領域都達到了中國古代數(shù)學的高峰，出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、“正負開方術”、“大衍求一術”、“大衍總數(shù)術”（一次同余式組解法）、“垛積術”（高階等差級數(shù)求和）、“招差術”（高次差內(nèi)差法）、“天元術”（數(shù)字高次方程一般解法）、“四元術”（四元高次方程組解法）、勾股數(shù)學、弧矢割圓術、組合數(shù)學、計算技術改革和珠算等都是在世界數(shù)學史上有重要地位的杰出成果，中國古代數(shù)學有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關鍵。中國已具備了17世紀發(fā)明微積分前夕的全部內(nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門?？上е袊院螅?/span>八股取士制造成了學術上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學在內(nèi)的科學日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關鍵一步落伍了。
十七世紀
到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。
數(shù)學首先從對運動（如天文、航海問題等）的研究中引出了一個基本概念，在那以后的二百年里，這個概念在幾乎所有的工作中占中心位置，這就是函數(shù)——或變量間關系——的概念。緊接著函數(shù)概念的采用，產(chǎn)生了微積分，它是繼Euclid幾何之后，全部數(shù)學中的一個最大的創(chuàng)造。圍繞著解決上述四個核心的科學問題，微積分問題至少被十七世紀十幾個最大的數(shù)學家和幾十個小一些的數(shù)學家探索過。位于他們?nèi)控暙I頂峰的是牛頓和萊布尼茨的成就。在此，我們主要來介紹這兩位大師的工作。
實際上，在牛頓和萊布尼茨作出他們的沖刺之前，微積分的大量知識已經(jīng)積累起來了。十七世紀的許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、沃利斯；德國的開普勒；意大利的卡瓦列里等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。
例如費馬、巴羅、笛卡爾都對求曲線的切線以及曲線圍成的面積問題有過深入的研究，并且得到了一些結果，但是他們都沒有意識到它的重要性。在十七世紀的前三分之二，微積分的工作沉沒在細節(jié)里，作用不大的細微末節(jié)的推理使他們筋疲力盡了。只有少數(shù)幾個大學家意識到了這個問題，如James Gregory說過：“數(shù)學的真正劃分不是分成幾何和算術，而是分成普遍的和特殊的”。而這普遍的東西是由兩個包羅萬象的思想家牛頓和萊布尼茨提供的。
十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題（積分學的中心問題）。
牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是數(shù)學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的。
牛頓
牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。
萊布尼茨
德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創(chuàng)設的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響。我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。
從幼年時代起，萊布尼茨就明顯展露出一顆燦爛的思想明星的跡象。他13歲時就像其他孩子讀小說一樣輕松地閱讀經(jīng)院學者的艱深的論文了。他提出無窮小的微積分算法，并且他發(fā)表自己的成果比艾薩克·牛頓爵士將它的手稿付梓早三年，而后者宣稱自己第一個做出了這項發(fā)現(xiàn)。
萊布尼茨與哲學家、神學家和文人們進行著廣泛的通信交往。在他的宏大計劃中曾嘗試達成新教和天主教之間的一個和解以及基督教國家之間的聯(lián)合，這種聯(lián)合在他那個時代意味著歐洲聯(lián)盟。他還做過后來成為普魯士科學院的柏林科學協(xié)會的第一會長。
他曾服務于漢諾威宮廷，但當喬治一世成為英格蘭國王時，萊布尼茨沒有被邀請同去，也許是由于他與牛頓的爭端。他的公眾影響力下降了，而在1716年，他再無人注意，甚至被他所創(chuàng)立的學會忽視的情況下去世，終年70歲。
創(chuàng)立期爭議
前面已經(jīng)提到，一門科學的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎上，最后由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣。
不幸的是，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學家和英國數(shù)學家的長期對立。英國數(shù)學在一個時期里閉關鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術”中停步不前，因而數(shù)學發(fā)展整整落后了一百年。
其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由于民族偏見，關于發(fā)明優(yōu)先權的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。
應該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷，最終導致了第二次數(shù)學危機的產(chǎn)生。
完善邏輯基礎
直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，後來又經(jīng)過德國數(shù)學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發(fā)展開來。任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、柯西……
歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數(shù)學也好，都是一種常量數(shù)學，微積分才是真正的變量數(shù)學，是數(shù)學中的大革命。微積分是高等數(shù)學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現(xiàn)代科學技術園地里，建立了數(shù)不清的豐功偉績。
微積分介紹
微積分（Calculus）是高等數(shù)學中研究函數(shù)的微分（Differentiation）、積分(Integration)以及有關概念和應用的數(shù)學分支。它是數(shù)學的一個基礎學科。內(nèi)容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數(shù)的運算，是一套關于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。
微積分是與應用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律。此后，微積分學極大的推動了數(shù)學的發(fā)展，同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經(jīng)濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發(fā)展。并在這些學科中有越來越廣泛的應用，特別是計算機的出現(xiàn)更有助于這些應用的不斷發(fā)展。微積分作為一門交叉性很強的科目，除了在物理等自然科學上有強實用性外，在經(jīng)濟學上也有很強的推動作用。
微積分學課程
在大學的數(shù)理、工程、商管教學中，微積分是“高等數(shù)學”的主要內(nèi)容之一。其教學方法自學科創(chuàng)立之處就受到人們重視。在美國大學先修課程中，AP微積分AB、BC分別為對應大學一元微積分半年、全年課程。
在香港，微積分是新高中課程數(shù)學（延展部分）的一部分，這部分是選修的。
微積分學應用
微積分學的發(fā)展與應用幾乎影響了現(xiàn)代生活的所有領域。它與大部分科學分支關系密切，包括醫(yī)藥、護理、工業(yè)工程、商業(yè)管理、精算、計算機、統(tǒng)計、人口統(tǒng)計，特別是物理學；經(jīng)濟學亦經(jīng)常會用到微積分學。幾乎所有現(xiàn)代科學技術，如：機械、土木、建筑、航空及航海等工業(yè)工程都以微積分學作為基本數(shù)學工具。微積分使得數(shù)學可以在變量和常量之間互相轉化，讓我們可以已知一種方式時推導出來另一種方式。
物理學大量應用微積分；經(jīng)典力學、熱傳和電磁學都與微積分有密切聯(lián)系。已知密度的物體質(zhì)量，動摩擦力，保守力場的總能量都可用微積分來計算。例如：將微積分應用到牛頓第二定律中，史料一般將導數(shù)稱為“變化率”。物體動量的變化率等于向物體以同一方向所施的力。今天常用的表達方式是 extbf{mph{F}}=m extbf{mph{a}}，它包括了微分，因為加速度是速度的導數(shù)，或是位置矢量的二階導數(shù)。已知物體的加速度，我們就可以得出它的路徑。
生物學用微積分來計算種群動態(tài)，輸入繁殖和死亡率來模擬種群改變。
化學使用微積分來計算反應速率，放射性衰退。
微積分可以與其他數(shù)學分支交叉混合。例如，混合線性代數(shù)來求得值域中一組數(shù)列的“最佳”線性近似。它也可以用在概率論中來確定由假設密度方程產(chǎn)生的連續(xù)隨機變量的概率。在解析幾何對方程圖像的研究中，微積分可以求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐點等。
格林公式連接了一個封閉曲線上的線積分與一個邊界為C且平面區(qū)域為D的雙重積分。它被設計為求積儀工具，用以量度不規(guī)則的平面面積。例如：它可以在設計時計算不規(guī)則的花瓣床、游泳池的面積。
在醫(yī)療領域，微積分可以計算血管最優(yōu)支角，將血流最大化。通過藥物在體內(nèi)的衰退數(shù)據(jù)，微積分可以推導出服用量。在核醫(yī)學中，它可以為治療腫瘤建立放射輸送模型。
微積分也被用于尋找方程的近似值；實踐中，它用于解微分方程，計算相關的應用題，如：牛頓法、定點循環(huán)、線性近似等。比如：宇宙飛船利用歐拉方法來求得零重力環(huán)境下的近似曲線。
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒寫！
作者
