小編整理: 微積分學(xué)是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)分支,它研究函數(shù)、極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。在17世紀(jì)后半葉,
英國(guó) 數(shù)學(xué)家艾薩克·牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家G.W.萊布尼茲總結(jié)和發(fā)展了幾百年間前人的工作,建立了微積分。微積分學(xué)是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)分支,它在自然科學(xué)、工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。
微積分學(xué) 微積分學(xué),數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)分支。內(nèi)容主要包括函數(shù)、極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。函數(shù)是微積分研究的基本對(duì)象,極限是微積分的基本概念,微分和積分是特定過(guò)程特定形式的極限。17世紀(jì)后半葉,英國(guó)數(shù)學(xué)家 艾薩克·牛頓 和德國(guó)數(shù)學(xué)家G.W.萊布尼茲,總結(jié)和發(fā)展了幾百年間前人的工作,建立了微積分,但他們的出發(fā)點(diǎn)是直觀的 無(wú)窮小量 ,因此尚缺乏嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)。19世紀(jì)A.-L.柯西和K.魏爾斯特拉斯把微積分建立在 極限理論 的基礎(chǔ)上;加之19世紀(jì)后半葉 實(shí)數(shù)理論 的建立,又使極限理論有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ),從而使微積分的基礎(chǔ)和思想方法日臻完善。
基本信息
研究對(duì)象
函數(shù)、極限、 微分 、積分、級(jí)數(shù) 運(yùn)用領(lǐng)域
天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等
歷史背景 數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折 點(diǎn)是 笛卡爾 的變數(shù),有了變數(shù),運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué),有了變數(shù),微分學(xué)和積分學(xué)也就立刻成為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生,并且是由 牛頓 和萊布尼茲大體上完成的,但不是由他們發(fā)明的?!?/span>恩格斯 從15世紀(jì)初歐洲文藝復(fù)興時(shí)期起,工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航海事業(yè)與商賈貿(mào)易的大規(guī)模發(fā)展,形成了一個(gè)新的 經(jīng)濟(jì)時(shí)代,宗教改革與對(duì)教會(huì)思想禁錮的懷疑,東方先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)通過(guò) 阿拉伯 的傳入,以及 拜占庭帝國(guó) 覆滅后 希臘 大量文獻(xiàn)的流入歐洲,在當(dāng)時(shí)的知識(shí)階層面前呈現(xiàn)出一個(gè)完全嶄新的面貌。而十六世紀(jì)的歐洲,正處在資本主義萌芽時(shí)期,生產(chǎn)力得到了很大的發(fā)展,生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展向自然科學(xué)提出了新的課題,迫切要求力學(xué)、天文學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的發(fā)展,而這些學(xué)科都是深刻依賴(lài)于數(shù)學(xué)的,因而也推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。科學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)提出的種種要求,最后匯總成多個(gè)核心問(wèn)題: (1)運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問(wèn)題
即,已知物體移動(dòng)的距離S表為時(shí)間的函數(shù)的公式 ,求物體在任意時(shí)刻的速度和加速度;反過(guò)來(lái),已知物體的加速度表為時(shí)間的函數(shù)的公式,求速度和距離。這類(lèi)問(wèn)題是研究運(yùn)動(dòng)時(shí)直接出現(xiàn)的,困難在于,所研究的速度和加速度是每時(shí)每刻都在變化的。比如,計(jì)算物體在某時(shí)刻的 瞬時(shí)速度 ,就不能象計(jì)算 平均速度 那樣,用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間去除移動(dòng)的距離,因?yàn)樵诮o定的瞬間,物體移動(dòng)的距離和所用的時(shí)間是0,而0/0是無(wú)意義的。但是,根據(jù)物理,每個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體在它運(yùn)動(dòng)的每一時(shí)刻必有速度,這也是無(wú)疑的。已知速度公式求移動(dòng)距離的問(wèn)題,也遇到同樣的困難。因?yàn)樗俣让繒r(shí)每刻都在變化,所以不能用運(yùn)動(dòng)的時(shí)間乘任意時(shí)刻的速度,來(lái)得到物體移動(dòng)的距離。 (2)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題
這個(gè)問(wèn)題本身是純幾何的,而且對(duì)于科學(xué)應(yīng)用有巨大的重要性。由于研究天文的需要,光學(xué)是十七世紀(jì)的一門(mén)較重要的科學(xué)研究,透鏡的設(shè)計(jì)者要研究光線(xiàn)通過(guò)透鏡的通道,必須知道光線(xiàn)入射透鏡的角度以便應(yīng)用 反射定律 ,這里重要的是光線(xiàn)與曲線(xiàn)的法線(xiàn)間的夾角,而法線(xiàn)是垂直于切線(xiàn)的,所以總是就在于求出法線(xiàn)或切線(xiàn);另一個(gè)涉及到曲線(xiàn)的切線(xiàn)的科學(xué)問(wèn)題出現(xiàn)于運(yùn)動(dòng)的研究中,求運(yùn)動(dòng)物體在它的軌跡上任一點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)方向,即軌跡的切線(xiàn)方向。 (3)求長(zhǎng)度、面積、體積、與重心問(wèn)題等
這些問(wèn)題包括,求曲線(xiàn)的長(zhǎng)度(如行星 在已知時(shí)期移動(dòng)的距離),曲線(xiàn)圍成的面積,曲面圍成的體積,物體的重心,一個(gè)相當(dāng)大的物體(如行星)作用于另一物體上的引力。實(shí)際上,關(guān)于計(jì)算橢圓的長(zhǎng)度的問(wèn)題,就難住數(shù)學(xué)家們,以致有一段時(shí)期數(shù)學(xué)家們對(duì)這個(gè)問(wèn)題的進(jìn)一步工作失敗了,直到下一世紀(jì)才得到新的結(jié)果。又如求面積問(wèn)題,早在 古希臘 時(shí)期人們就用窮竭法求出了一些面積和體積,如求拋物線(xiàn)在區(qū)間[0,1]上與 x 軸和直線(xiàn) 所圍成的面積S,他們就采用了窮竭法。當(dāng)n越來(lái)越小時(shí),右端的結(jié)果就越來(lái)越接近所求的面積的精確值。但是,應(yīng)用窮竭法,必須添上許多技藝,并且缺乏一般性,常常得不到數(shù)字解。當(dāng) 阿基米德 的工作在歐洲聞名時(shí),求長(zhǎng)度、面積、體積和重心的興趣復(fù)活了。窮竭法先是逐漸地被修改,后來(lái)由于微積分的創(chuàng)立而根本地修改了。 (4)求最大值和最小值問(wèn)題
炮彈在炮筒里射出,它運(yùn)行的水平距離,即射程,依賴(lài)于炮筒對(duì)地面的傾斜角,即發(fā)射角。一個(gè)“實(shí)際”的問(wèn)題是求能獲得最大射程的發(fā)射角。十七世紀(jì)初期, Galileo 斷定(在真空中)最大射程在發(fā)射角是 時(shí)達(dá)到;他還得出炮彈從各個(gè)不同角度發(fā)射后所達(dá)到的不同的最大高度。研究行星的運(yùn)動(dòng)也涉及到最大值和最小值的問(wèn)題,如求行星離開(kāi)太陽(yáng)的距離。
創(chuàng)立過(guò)程
早期思想 中國(guó)古代數(shù)學(xué)家也產(chǎn)生過(guò)積分學(xué)的萌芽思想,例如三國(guó)時(shí)期的 劉徽 ,他對(duì)積分學(xué)的思想主要有兩點(diǎn): 割圓術(shù) 及求體積問(wèn)題的設(shè)想。 在3世紀(jì),中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的割圓術(shù)用圓內(nèi)接正九十六邊形的面積近似代替 圓面積 ,求出圓周率π的近似值3.141024,并指出:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至不可割,則與圓合體而無(wú)所失矣”。劉徽對(duì)面 積的深刻認(rèn)識(shí)和他的割圓術(shù)方法,正是 極限思想 的具體體現(xiàn)。 數(shù)列極限 是 函數(shù)極限 的基礎(chǔ),一個(gè)數(shù)列 如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí), 與某一實(shí)數(shù)無(wú)限接近,就稱(chēng)之為 收斂數(shù)列 ,a為數(shù)列的極限,記作 例如 ,數(shù)列的極限為0。
微分學(xué) 微分學(xué)的基本概念是導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)是從速度問(wèn)題和切線(xiàn)問(wèn)題抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念。牛頓從蘋(píng)果下落時(shí)越落越快的現(xiàn)象受到啟發(fā),希望 用數(shù)學(xué)工具來(lái)刻畫(huà)這一事實(shí)。若用 表示物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,即物體運(yùn)動(dòng)中所走路程s與時(shí)間t的關(guān)系,那么物體在 時(shí)的瞬時(shí)速度為 ,并記 ,并稱(chēng)之為路程s關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)或變化率,也可記 。而物體運(yùn)動(dòng)的加速度 。導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)數(shù)學(xué)工具無(wú)論在理論上還是實(shí)際應(yīng)用中,都起著基礎(chǔ)而重要的作用。例如在求極大、極小值問(wèn)題中的應(yīng)用。
積分學(xué)
積分學(xué)的基本概念是一元函數(shù)的不定積分和定積分。主要內(nèi)容包括積分的性質(zhì)、計(jì)算,以及在理論和實(shí)際中的應(yīng)用。不定積分概念是為解決 求導(dǎo) 和微分的 逆運(yùn)算 而提出來(lái)的。如果對(duì)每一 ,有 ,則稱(chēng)F(x)為 f(x) 的一個(gè) 原函數(shù) ,f(x)的全體原函數(shù)叫做不定積分,記為,因此,如果F(x)是 f(x)的一個(gè)原函數(shù),則 ,其中C為任意常數(shù)。定積分概念的產(chǎn)生來(lái)源于計(jì)算平面上曲邊形的面積和物理學(xué)中諸如求變力所作的功等物理量的問(wèn)題。解決這些問(wèn)題的基本思想是用有限代替無(wú)限;基本方法是在對(duì) 定義域 [a,b]進(jìn)行劃分后,構(gòu)造一個(gè)特殊形式的和式,它的極限就是所要求的量。具體地說(shuō),設(shè)f(x)為定義在[a,b]上的函數(shù),任意分劃區(qū)間 ,記, ,任取 ,如果有一實(shí)數(shù)I,有下式成立: ,則稱(chēng)I為f(x)在[a,b]上的定積分,記為 。當(dāng) 時(shí),定積分的幾何意義是表示由x 和 所圍曲邊形的面積。定積分除了可求平面圖形的面積外,在物理方面的應(yīng)用主要有解微分方程的初值問(wèn)題和“微元求和”。 聯(lián)系微分學(xué)和積分學(xué)的基本公式是:若f(x)在[a,b]上連續(xù),F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù),則 。通常稱(chēng)之為牛頓-萊布尼茲公式。因此,計(jì)算定積分實(shí)際上就是求原函數(shù),也即求不定積分。但即使f(x)為初等函數(shù),計(jì)算不定積分的問(wèn)題也不能完全得到解決,所以要考慮定積分的近似計(jì)算,常用的方法有梯形法和拋物線(xiàn)法。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱(chēng)。
客觀價(jià)值 客觀世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著。因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后,就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來(lái)加以描述了。
由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運(yùn)用的加深,也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要,一門(mén)新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了,這就是微積分學(xué)。微積分學(xué)這門(mén)學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的,可以說(shuō)它是繼歐氏幾何后,全部數(shù)學(xué)中的最大的一個(gè)創(chuàng)造。
產(chǎn)生與發(fā)展 微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段:極限概念;求積的無(wú)限小方法;積分與微分的互逆關(guān)系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作,歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追溯到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻(xiàn)。對(duì)于這方面的工作,古代中國(guó)毫不遜色于西方,微積分思想在古代中國(guó)也有萌芽,甚至不次于古希臘。
微分早期 古希臘數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德(公元前287~前212)的著作《 圓的測(cè)量 》和《 論球與圓柱 》中就已含有積分學(xué)的萌芽,他在研究解決拋物線(xiàn)下的弓形面積、球和球冠面積、螺線(xiàn)下的面積和旋轉(zhuǎn) 雙曲線(xiàn) 所得的體積的問(wèn)題中就隱含著近代積分的思想。
極限思想 公元前4世紀(jì)《 墨經(jīng) 》中有了有窮、無(wú)窮、無(wú)限?。ㄗ钚o(wú)內(nèi))、無(wú)窮大(最大無(wú)外)的定義和極限、瞬時(shí)等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積,求得圓周率約等于3 .1416,他的極限思想和無(wú)窮小方法,是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。 公元前三世紀(jì),古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線(xiàn)下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問(wèn)題中,就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來(lái)說(shuō),在古代以有比較清楚的論述。比如我國(guó)的 莊周 所著的《 莊子 》一書(shū)的“天下篇”中,記有“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭”。三國(guó)時(shí)期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓周和體而無(wú)所失矣?!边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。
微積分思想 微積分思想雖然可追溯到古希臘,但它的概念和法則卻是16世紀(jì)下半葉,開(kāi)普勒、 卡瓦列利 等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的。而這些思想和方法從劉徽對(duì)圓錐、圓臺(tái)、圓柱的 體積公式 的證明到公元5世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到。 北宋 大科學(xué)家 沈括 的《 夢(mèng)溪筆談 》獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會(huì)圓術(shù)”和“棋局都 數(shù)術(shù) ”開(kāi)創(chuàng)了對(duì)高階等差級(jí)數(shù)求和的研究。 特別是13世紀(jì)40年代到14世紀(jì)初,在主要領(lǐng)域都達(dá)到了 中國(guó)古代數(shù)學(xué)的高峰,出現(xiàn)了現(xiàn)通稱(chēng)賈憲三角形的“ 開(kāi)方 作法本源圖”和 增乘開(kāi)方法 、“ 正負(fù)開(kāi)方術(shù) ”、“ 大衍求一術(shù) ”、“ 大衍總數(shù)術(shù) ”(一次同余式組解法)、“ 垛積術(shù) ”(高階等差級(jí)數(shù)求和)、“ 招差術(shù) ”(高次差內(nèi)差法)、“ 天元術(shù) ”(數(shù)字 高次方程 一般解法)、“ 四元術(shù) ”(四元高次方程組解法)、勾股數(shù)學(xué)、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位的杰出成果,中國(guó)古代數(shù)學(xué)有了微積分前兩階段的出色工作,其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。中國(guó)已具備了17世紀(jì)發(fā)明微積分前夕的全部?jī)?nèi)在條件,已經(jīng)接近了微積分的大門(mén)??上е袊?guó)元朝以后, 八股取士 制造成了學(xué)術(shù)上的大倒退,封建統(tǒng)治的文化專(zhuān)制和盲目排外致使包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)日漸衰落,在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了。
十七世紀(jì) 到了十七世紀(jì),有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決,這些問(wèn)題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來(lái),大約有四種主要類(lèi)型的問(wèn)題:第一類(lèi)是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的,也就是求即時(shí)速度的問(wèn)題。第二類(lèi)問(wèn)題是求曲線(xiàn)的切線(xiàn)的問(wèn)題。第三類(lèi)問(wèn)題是求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。第四類(lèi)問(wèn)題是求曲線(xiàn)長(zhǎng)、曲線(xiàn)圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。
數(shù)學(xué)首先從對(duì)運(yùn)動(dòng)(如天文、航海問(wèn)題等)的研究中引出了一個(gè)基本概念,在那以后的二百年里,這個(gè)概念在幾乎所有的工作中占中心位置,這就是函數(shù)——或變量間關(guān)系——的概念。緊接著函數(shù)概念的采用,產(chǎn)生了微積分,它是繼 Euclid 幾何之后,全部數(shù)學(xué)中的一個(gè)最大的創(chuàng)造。圍繞著解決上述四個(gè)核心的科學(xué)問(wèn)題,微積分問(wèn)題至少被十七世紀(jì)十幾個(gè)最大的數(shù)學(xué)家和幾十個(gè)小一些的數(shù)學(xué)家探索過(guò)。位于他們?nèi)控暙I(xiàn)頂峰的是牛頓和 萊布尼茨 的成就。在此,我們主要來(lái)介紹這兩位大師的工作。 實(shí)際上,在牛頓和萊布尼茨作出他們的沖刺之前,微積分的大量知識(shí)已經(jīng)積累起來(lái)了。十七世紀(jì)的許多著名的 數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類(lèi)問(wèn)題作了大量的研究工作,如法國(guó)的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、 笛沙格 ;英國(guó)的 巴羅 、 沃利斯 ;德國(guó)的開(kāi)普勒;意大利的 卡瓦列里 等人都提出許多很有建樹(shù)的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。 例如費(fèi)馬、巴羅、笛卡爾都對(duì)求曲線(xiàn)的切線(xiàn)以及曲線(xiàn)圍成的面積問(wèn)題有過(guò)深入的研究,并且得到了一些結(jié)果,但是他們都沒(méi)有意識(shí)到它的重要性。在十七世紀(jì)的前三分之二,微積分的工作沉沒(méi)在細(xì)節(jié)里,作用不大的細(xì)微末節(jié)的推理使他們筋疲力盡了。只有少數(shù)幾個(gè)大學(xué)家意識(shí)到了這個(gè)問(wèn)題,如James Gregory說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)的真正劃分不是分成幾何和算術(shù),而是分成普遍的和特殊的”。而這普遍的東西是由兩個(gè)包羅萬(wàn)象的思想家牛頓和萊布尼茨提供的。
十七世紀(jì)下半葉,在前人工作的基礎(chǔ)上,英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作,雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在一起,一個(gè)是切線(xiàn)問(wèn)題(微分學(xué)的中心問(wèn)題),一個(gè)是求積問(wèn)題(積分學(xué)的中心問(wèn)題)。
牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量,因此這門(mén)學(xué)科早期也稱(chēng)為無(wú)窮小分析,這正是數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱(chēng)的來(lái)源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮,萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。
牛頓 牛頓在 1671年 寫(xiě)了《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》,這本書(shū)直到1736年才出版,它在這本書(shū)里指出,變量是由點(diǎn)、線(xiàn)、面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的,否定了以前自己認(rèn)為的變量是無(wú)窮小元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動(dòng)量,把這些流動(dòng)量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問(wèn)題是:已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑,求給定時(shí)刻的速度(微分法);已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程(積分法)。
萊布尼茨 德國(guó)的萊布尼茨是一個(gè)博才多學(xué)的學(xué)者,1684年,他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn),這篇文章有一個(gè)很長(zhǎng)而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線(xiàn)的新方法,它也適用于分式和無(wú)理量,以及這種新方法的奇妙類(lèi)型的計(jì)算》。就是這樣一片說(shuō)理也頗含糊的文章,卻有劃時(shí)代的意義。他以含有現(xiàn)代的 微分符號(hào) 和基本微分法則。1686年,萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻(xiàn)。他是歷史上最偉大的符號(hào)學(xué)者之一,他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào),遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓的符號(hào),這對(duì)微積分的發(fā)展有極大的影響。我們使用的微積分通用符號(hào)就是當(dāng)時(shí)萊布尼茨精心選用的。 從幼年時(shí)代起,萊布尼茨就明顯展露出一顆燦爛的思想明星的跡象。他13歲時(shí)就像其他孩子讀小說(shuō) 一樣輕松地閱讀經(jīng)院學(xué)者的艱深的論文了。他提出無(wú)窮小的微積分算法,并且他發(fā)表自己的成果比艾薩克·牛頓爵士將它的手稿付梓早三年,而后者宣稱(chēng)自己第一個(gè)做出了這項(xiàng)發(fā)現(xiàn)。 萊布尼茨是一個(gè)世故的人,取悅于宮廷并得到知名人士的庇護(hù)。他與 斯賓諾莎 有私交,后者的哲學(xué)給他以深刻的印象,雖然他斷然與斯賓諾莎的觀念分道揚(yáng)鑣了。 萊布尼茨與哲學(xué)家、神學(xué)家和文人們進(jìn)行著廣泛的通信交往。在他的宏大計(jì)劃中曾嘗試達(dá)成新教和天主教之間的一個(gè)和解以及基督教國(guó)家之間的聯(lián)合,這種聯(lián)合在他那個(gè)時(shí)代意味著歐洲聯(lián)盟。他還做過(guò)后來(lái)成為普魯士科學(xué)院的柏林科學(xué)協(xié)會(huì)的第一會(huì)長(zhǎng)。
他曾服務(wù)于漢諾威宮廷,但當(dāng) 喬治一世 成為英格蘭國(guó)王時(shí),萊布尼茨沒(méi)有被邀請(qǐng)同去,也許是由于他與牛頓的爭(zhēng)端。他的公眾影響力下降了,而在1716年,他再無(wú)人注意,甚至被他所創(chuàng)立的學(xué)會(huì)忽視的情況下去世,終年70歲。
創(chuàng)立期爭(zhēng)議 微積分學(xué)的創(chuàng)立,極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,過(guò)去很多 初等數(shù)學(xué) 束手無(wú)策的問(wèn)題,運(yùn)用微積分,往往迎刃而解,顯示出微積分學(xué)的非凡威力。 前面已經(jīng)提到,一門(mén)科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個(gè)人的業(yè)績(jī),他必定是經(jīng)過(guò)多少人的努力后,在積累了大量成果的基礎(chǔ)上,最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的。微積分也是這樣。
不幸的是,由于人們?cè)谛蕾p微積分的宏偉功效之余,在提出誰(shuí)是這門(mén)學(xué)科的創(chuàng)立者的時(shí)候,竟然引起了一場(chǎng)悍然大波,造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國(guó)數(shù)學(xué)家的長(zhǎng)期對(duì)立。英國(guó)數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國(guó),囿于民族偏見(jiàn),過(guò)于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前,因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年。
其實(shí),牛頓和萊布尼茨分別是自己獨(dú)立研究,在大體上相近的時(shí)間里先后完成的。比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼茨早10年左右,但是正式公開(kāi)發(fā)表微積分這一理論,萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們的研究各有長(zhǎng)處,也都各有短處。那時(shí)候,由于民族偏見(jiàn),關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。
應(yīng)該指出,這是和歷史上任何一項(xiàng)重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時(shí)間一樣,牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們?cè)跓o(wú)窮和無(wú)窮小量這個(gè)問(wèn)題上,其說(shuō)不一,十分含糊。牛頓的無(wú)窮小量,有時(shí)候是零,有時(shí)候不是零而是有限的小量;萊布尼茨的也不能自圓其說(shuō)。這些基礎(chǔ)方面的缺陷,最終導(dǎo)致了 第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 的產(chǎn)生。
完善邏輯基礎(chǔ) 直到19世紀(jì)初,法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以 柯西 為首,對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究,建立了極限理論,後來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化,使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展開(kāi)來(lái)。任何新興的、具有無(wú)量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星: 瑞士 的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、 歐拉 、法國(guó)的拉格朗日、柯西…… 歐氏幾何也好,上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好,都是一種常量數(shù)學(xué),微積分才是真正的變量數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)中的大革命。微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支,不只是局限在解決力學(xué)中的變速問(wèn)題,它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里,建立了數(shù)不清的豐功偉績(jī)。
微積分介紹 微積分(Calculus)是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分(Differentiation)、積分(Integration)以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線(xiàn)的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué),包括求積分的運(yùn)算,為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。
微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來(lái)的,最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從 萬(wàn)有引力 定律導(dǎo)出了開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后,微積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來(lái)越廣泛的應(yīng)用,特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。微積分作為一門(mén)交叉性很強(qiáng)的科目,除了在物理等自然科學(xué)上有強(qiáng)實(shí)用性外,在經(jīng)濟(jì)學(xué)上也有很強(qiáng)的推動(dòng)作用。
微積分學(xué)課程 在大學(xué)的數(shù)理、工程、商管教學(xué)中,微積分是“高等數(shù)學(xué)”的主要內(nèi)容之一。其教學(xué)方法自學(xué)科創(chuàng)立之處就受到人們重視。在 美國(guó)大學(xué) 先修課程中,AP微積分AB、BC分別為對(duì)應(yīng)大學(xué)一元微積分半年、全年課程。 在香港,微積分是新高中課程數(shù)學(xué)(延展部分)的一部分,這部分是選修的。
微積分學(xué)應(yīng)用 微積分學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用幾乎影響了現(xiàn)代生活的所有領(lǐng)域。它與大部分 科學(xué)分支 關(guān)系密切,包括醫(yī)藥、護(hù)理、工業(yè)工程、商業(yè)管理、精算、計(jì)算機(jī)、統(tǒng)計(jì)、人口統(tǒng)計(jì),特別是物理學(xué);經(jīng)濟(jì)學(xué)亦經(jīng)常會(huì)用到微積分學(xué)。幾乎所有現(xiàn)代科學(xué)技術(shù),如:機(jī)械、土木、建筑、航空及航海等工業(yè)工程都以微積分學(xué)作為基本數(shù)學(xué)工具。微積分使得數(shù)學(xué)可以在變量和 常量 之間互相轉(zhuǎn)化,讓我們可以已知一種方式時(shí)推導(dǎo)出來(lái)另一種方式。 鸚鵡螺的對(duì)數(shù)螺線(xiàn)是微積分變幻的經(jīng)典圖像 物理學(xué)大量應(yīng)用微積分; 經(jīng)典力學(xué) 、熱傳和電磁學(xué)都與微積分有密切聯(lián)系。已知密度的物體質(zhì)量,動(dòng)摩擦力,保守力場(chǎng)的總能量都可用微積分來(lái)計(jì)算。例如:將微積分應(yīng)用到 牛頓第二定律 中,史料一般將導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為“變化率”。物體動(dòng)量的變化率等于向物體以同一方向所施的力。今天常用的表達(dá)方式是 extbf{mph{F}}=m extbf{mph{a}},它包括了微分,因?yàn)榧铀俣仁撬俣鹊膶?dǎo)數(shù),或是 位置矢量 的 二階導(dǎo)數(shù) 。已知物體的加速度,我們就可以得出它的路徑。 生物學(xué)用微積分來(lái)計(jì)算種群動(dòng)態(tài),輸入繁殖和死亡率來(lái)模擬種群改變。
化學(xué)使用微積分來(lái)計(jì)算反應(yīng)速率,放射性衰退。
微積分可以與其他數(shù)學(xué)分支交叉混合。例如,混合線(xiàn)性代數(shù)來(lái)求得值域中一組數(shù)列的“最佳”線(xiàn)性近似。它也可以用在概率論中來(lái)確定由假設(shè)密度方程產(chǎn)生的連續(xù)隨機(jī)變量的概率。在解析幾何對(duì)方程圖像的研究中,微積分可以求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐點(diǎn)等。
格林公式 連接了一個(gè)封閉曲線(xiàn)上的線(xiàn)積分與一個(gè)邊界為C且平面區(qū)域?yàn)镈的雙重積分。它被設(shè)計(jì)為 求積儀 工具,用以量度不規(guī)則的平面面積。例如:它可以在設(shè)計(jì)時(shí)計(jì)算不規(guī)則的花瓣床、游泳池的面積。 在醫(yī)療領(lǐng)域,微積分可以計(jì)算血管最優(yōu)支角,將血流最大化。通過(guò)藥物在體內(nèi)的衰退數(shù)據(jù),微積分可以推導(dǎo)出服用量。在核醫(yī)學(xué)中,它可以為治療腫瘤建立放射輸送模型。
在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,微積分可以通過(guò)計(jì)算 邊際成本 和 邊際利潤(rùn) 來(lái)確定最大收益。 微積分也被用于尋找方程的近似值;實(shí)踐中,它用于解微分方程,計(jì)算相關(guān)的應(yīng)用題,如:牛頓法、定點(diǎn)循環(huán)、線(xiàn)性近似等。比如:宇宙飛船利用歐拉方法來(lái)求得零重力環(huán)境下的近似曲線(xiàn)。