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超越數(shù)（1844年劉維爾提出的數(shù)學概念）

次瀏覽 | 更新時間：2023-05-22

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超越數(shù)

本詞條是多義詞，共3個義項

1844年劉維爾提出的數(shù)學概念

超越數(shù)，數(shù)學概念，指不是代數(shù)數(shù)的數(shù)。超越數(shù)的存在是由法國數(shù)學家劉維爾（Joseph Liouville，1809~1882）在1844年最早證明的。關(guān)于超越數(shù)的存在，劉維爾寫出了下面這樣一個無限小數(shù)：a=0.110001000000000000000001000…（a＝1/10^(1!)＋1/10^(2!)＋1/10^(3!)＋…），并且證明取這個a不可能滿足任何整系數(shù)多項式方程，由此證明了它不是一個代數(shù)數(shù)，而是一個超越數(shù)。后來人們?yōu)榱思o念他首次證明了超越數(shù)，所以把數(shù)a稱為劉維爾數(shù)。

基本信息

中文名	超越數(shù)
外文名	transcendental number
應用學科	數(shù)學
提出時間	1844年
重要人物	劉維爾、厄米特、林德曼
定義	不是代數(shù)數(shù)的數(shù)

收起

概念

超越數(shù)是指不滿足任何整系數(shù)(有理系數(shù))多項式方程的實數(shù)，即不是代數(shù)數(shù)的數(shù)。因為歐拉說過：“它們超越代數(shù)方法所及的范圍之外?！?1748年)而得名。

幾乎所有的實數(shù)都是超越數(shù)。

1844年，劉維爾(J.liouville，法，1809—1882)首先證明了超越數(shù)的存在性。厄米特與林德曼先后證明了e與π為超越數(shù)。

難題

超越數(shù)是不能滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實數(shù)，定義恰與代數(shù)數(shù)相反。兩個著名的例子：圓周率π=3.1415926535…、自然對數(shù)的底e=2.718281828…。可以證明超越數(shù)有無窮個。在實數(shù)中除了代數(shù)數(shù)外，其余的都是超越數(shù)，但是超越數(shù)不一定是實數(shù)，比如著名的歐拉公式

中的

即是一個虛超越數(shù)。實數(shù)可以作如下分類：實數(shù)分為實代數(shù)數(shù)、實超越數(shù)。所有超越數(shù)構(gòu)成的集是一個不可數(shù)集。這暗示超越數(shù)為無窮數(shù)集?？墒牵F(xiàn)今發(fā)現(xiàn)的超越數(shù)極少，因為要證明一個數(shù)是超越數(shù)是十分困難的。

證明

劉維爾數(shù)證明后，許多數(shù)學家都致力于對超越數(shù)的研究。1873年，法國數(shù)學家埃爾米特（Charles Hermite，1822—1901）又證明了自然對數(shù)底e的超越性，從而使人們對超越數(shù)的認識更為清楚。1882年，德國數(shù)學家林德曼證明了圓周率也是一個超越數(shù)（完全否定了“化圓為方”作圖的可能性）。

在研究超越數(shù)的過程中，大衛(wèi)·希爾伯特曾提出猜想：a是不等于0和1的代數(shù)數(shù),b是無理代數(shù)數(shù)，則a^b是超越數(shù)（希爾伯特問題中的第七題）。

這個猜想已被證明，于是可以斷定e、π是超越數(shù)。

常見形式

實數(shù)中除代數(shù)數(shù)以外的數(shù)，亦即不滿足任一個整系數(shù)代數(shù)方程

（n為正整數(shù)，≠0）的數(shù)。理論上證明超越數(shù)的存在并不難，而且可知超越數(shù)是大量的。但要構(gòu)造一個超越數(shù)或論證某個數(shù)是超越數(shù)就極為困難。現(xiàn)今只有少量的數(shù)如（π，e），等的超越性得到了證明，對其他一些有興趣的數(shù)的超越性的研究是數(shù)學家十分關(guān)注的事。

數(shù)例

π，在我國叫又環(huán)率、圓率、圓周率等。

最先得出π≈3.14的是希臘的阿基米德（約公元前240年），最先給出π小數(shù)后面四位準確值的是希臘人托勒密（約公元前150年），最早算出π小數(shù)后七位準確值的是我國的祖沖之（約480年），1610年荷蘭籍德數(shù)學家魯?shù)婪驊脙?nèi)接和外切正多邊形計算π值，通過2邊形計算π到35位小數(shù)，花費了畢生精力，1630年格林貝格利用斯涅耳的改進方法計算π值到39位小數(shù)，這是利用古典方法計算π值的最重要嘗試。

以上都是古典方法計算π值。

達什首先計算出π的準確的200位數(shù)字。

值得提出的是，達什1824年生于漢堡，只活了短短的37年，便離開了人世，他是一個閃電般的計算者，是一位最了不起的人工計算者，他曾在54秒鐘內(nèi)便完成了兩個8位數(shù)的乘法，在6分鐘內(nèi)完成了兩個20位數(shù)的乘法，在40分鐘內(nèi)完成了兩個40位數(shù)的乘法；他曾在52分鐘內(nèi)算出一個100位數(shù)的平方根。達什的這種非凡的計算才能在他制作7位對數(shù)表和從7000000到10000000之間的數(shù)的因子表便得到了最有價值的充分的運用。

1706年，英國的威廉·姆士首先使用π這個符號，用來表示圓周和直徑的比值，但只是在歐拉于1737年采用了這方法以后，π才在這種情況下得到了普遍的應用。

1873年，英國人威廉·桑克斯利用麥新的公式計算π到70位。

1961年，美國的雷思奇和D·桑克斯用電子計算機得出π值的100000位數(shù)字。

在中學數(shù)學書中這樣提出：以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)。那么e到底有什么實際意義呢？

1844年，法國數(shù)學家劉維爾最先推測e是超越數(shù)，一直到了1873年才由法國數(shù)學家埃爾米特證明e是超越數(shù)。

1727年，歐拉最先用e作為數(shù)學符號使用，后來經(jīng)過一個時期人們又確定用e作為自然對數(shù)的底來紀念他。有趣的是，e正好是歐拉名字第一個小寫字母，是有意的還是偶然巧合？現(xiàn)已無法考證！

e在自然科學中的應用并不亞于π值。像原子物理和地質(zhì)學中考察放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律或考察地球年齡時便要用到e。

在用齊奧爾科夫斯基公式計算火箭速度時也會用到e，在計算儲蓄最優(yōu)利息及生物繁殖問題時，也要用到e。

同π一樣，e也會在意想不到的地方出現(xiàn)，例如：“將一個數(shù)分成若干等份，要使各等份乘積最大，怎么分？”要解決這個問題便要同e打交道。答案是：使等分的各份盡可能接近e值。如，把10分成10÷e≈3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份為10÷4=2.5，這時2.5^4=39.0625乘積最大，如分成3或5份，乘積都小于39。e就是這樣神奇的出現(xiàn)了。

1792年，15歲的高斯發(fā)現(xiàn)了素數(shù)定理：“從1到任何自然數(shù)N之間所含素數(shù)的百分比，近似等于N的自然對數(shù)的倒數(shù)；N越大，這個規(guī)律越準確?！边@個定理到1896年才由法國數(shù)學家阿達瑪和幾乎是同一時期的比利時數(shù)學家布散所證明。以e為底還有很多優(yōu)越性。如以e為底編制對數(shù)表最好；微積分公式也具有最簡的形式。這是因為只有e^x導數(shù)就是其自身，即d/dx(e^x)=e^x。

意義

超越數(shù)的證明，給數(shù)學帶來了極大的變革，它證明了幾千年來數(shù)學上的難題——尺規(guī)作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題都是尺規(guī)不能問題（無法用尺規(guī)證明的問題）。

各種形式

π和e的無窮級數(shù)形式

有趣的是，π和e可以用無窮級數(shù)表示：

π=4(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……)=4∑((-1)?/(1+2n))，n∈N

e=1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+…….=∑1/(n!),n∈N

π的反正切函數(shù)形式

除了無窮級數(shù)形式，π還可以用反正切函數(shù)表示：

π=16arctan1/5-4arctan1/239

π=24arctan1/8+8arctan1/57+4arctan1/239

參考資料

[1]

代數(shù)數(shù)與超越數(shù)淺談 · 維普[引用日期2021-07-26]

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