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約瑟夫·劉維爾（法國數(shù)學家）

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約瑟夫·劉維爾

法國數(shù)學家

“劉維爾數(shù)”創(chuàng)始人

約瑟夫·劉維爾(Joseph Liouville，1809年3月24日-1882年9月8日) 法國數(shù)學家，男，一生從事數(shù)學、力學和天文學的研究，涉足廣泛，成果豐富，尤其對雙周期橢圓函數(shù)、微分方程邊值問題和數(shù)論中的超越數(shù)問題有深入研究。

劉維爾研究了后來所稱的“劉維爾數(shù)”，并證明了其超越性，是第一個證實超越數(shù)存在的人。他在數(shù)學研究中有很重要的學術貢獻。

基本信息

出生日期	1809年3月24日
出生地	法國加來海峽省圣奧梅爾
去世日期	1882年9月8日
國籍	法國
性別	男

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簡介

劉維爾

劉維爾(Joseph Liouville) 法國數(shù)學家。1809年3月24日生于法國加來海峽省圣奧梅爾，1882年9月8日卒于巴黎。

劉維爾的父親克勞德-約瑟夫·劉維爾(Claud－Joseph Liouville)是一位陸軍上尉，母親名叫泰雷茲·巴朗(Thérése Bal－land)。劉維爾是他們的次子，幼時先后就學于科梅西和土爾。1825年他來到巴黎綜合工科學校學習，A．M．安培(Ampère)擔任分析與力學課的老師，兩人曾共同探討電動力學問題。他于1827年11月轉入橋梁與公路學校，1831年獲學士學位。

畢業(yè)后不久，他辭去了在伊澤爾省的工程師職務，期望得到一份教職，以便專心從事學術工作。1831年11月，他被綜合工科學校教育委員會選為L．馬蒂厄(Mathieu)的分析與力學課助教，由此開始了自己近50年的科學研究生涯。

1833—1838年間，劉維爾曾在成立不久的中央高等工藝制造學校講授數(shù)學和力學，但內容均為初級的。為使自己的教學工作保持在大學水平上，他在1836年攻取了博士學位，論文題為“關于函數(shù)或其一部分的正弦與余弦級數(shù)展開式”(Sur le dévelop－pement des fonctions ou parties de fonctions en séries dc sinuset de cosinus)，探討了傅里葉級數(shù)及其在各種力學、物理學問題中的應用，于同年在巴黎成書出版。

為適應法國數(shù)學研究的需要，劉維爾在1836年1月創(chuàng)辦《純粹與應用數(shù)學雜志》(Journal de matématiques pures et appli－quées)，并親自主持了前39卷的編輯出版工作(第1輯，1—20卷，1836—1855年；第2輯，1—19卷，1856—1874年)。該雜志刊登純粹、應用數(shù)學領域所有分支的論文，記錄了19世紀中期的40年里數(shù)學活動的一部分重要內容，被后人稱為《劉維爾雜志》(Liou－ville′s Journal)。

劉維爾不僅與當時一些重要的數(shù)學家保持著密切聯(lián)系并定期發(fā)表他們的成果，而且熱心地對年輕學者進行指導，為他們發(fā)表著作提供機會。最值得一提的當屬他編輯發(fā)表E．伽羅瓦(Galois)的文章。1832年5月，伽羅瓦在決斗中被殺，劉維爾整理了他的部分遺稿并刊登在1846年的《純粹與應用數(shù)學雜志》上，他在代數(shù)方面的獨創(chuàng)性工作才得以為世人所知。

1838年，劉維爾接替馬蒂厄成為綜合工科學校的分析與力學課教席，一直工作到1851年他轉入法蘭西學院任數(shù)學教席為止。1839年6月和1840年，他又先后被推舉為巴黎科學院天文學部委員和標準計量局成員，定期參與這兩方面的活動。

劉維爾的學術活動在法國革命期間稍有中斷。1848年4月23日，他入選立憲會議，是默爾特行政區(qū)的代表之一，次年5月競選議員失敗，他的政治活動遂告結束。

1851年來到法蘭西學院后，劉維爾的教學工作相當自由，有更多的時間展開自己的研究工作，廣泛與他人探討。他在此職位上一直工作到1879年。不過從1874年他退出《純粹與應用數(shù)學雜志》的編輯工作后，便不再發(fā)表著作，也很少參與法國學術界的活動了。劉維爾一生勤于學術工作，生活淡泊寧靜，每年都要回到家鄉(xiāng)土爾的舊居休假。他在1830年與表親瑪麗-路易絲·巴朗(Marie－Louise Balland)結婚，生有三女一子。

劉維爾的主要學術成就如下。

函數(shù)論

劉維爾認真研究了G．W．萊布尼茨(Leibniz)、約翰·伯努利(Johann Bernoulli)和L．歐拉(Euler)的著作。他在早期工作中盡可能地擴展微分和積分的概念，尤其是建立任意階導數(shù)的理論。

1832年12月7日和1873年2月4日，劉維爾先后向巴黎科學院提交兩篇論文，對代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)進行了分類，以此整理N．H．阿貝爾(Abel)、P．S．拉普拉斯(Laplace)等人關于橢圓積分的表示和有理函數(shù)的理論，在此基礎上，他于1834年給出了初等函數(shù)的分類：

有限個[url[復變量的代數(shù)函數(shù)為第0類初等函數(shù)；ez和logz為第1類初等函數(shù)；二者合稱為最多第1類初等函數(shù)。若已定義最多第n-1類初等函數(shù)，則它與最多第1類初等函數(shù)的復合稱最多第n類初等函數(shù)。是最多第n類而非最多第n-1類的初等函數(shù)稱第n類初等函數(shù)。

初等函數(shù)的積分在何條件下仍為初等函數(shù)，也是他著重討論的問題。劉維爾涉足科學領域之際，由阿阿爾和C．雅可比(Jacobi)所建立的橢圓函數(shù)理論正處于蓬勃發(fā)展時期。1844年12月，劉維爾在給巴黎科學院的一封信中說明了如何從雅可比的定理(單變量單值亞純函數(shù)的周期個數(shù)不多于2，周期之比為非實數(shù))出發(fā)，建立雙周期橢圓函數(shù)的一套完整理論體系。這是對橢圓函數(shù)論的一個較大貢獻。圍繞雙周期性，劉維爾展示了橢圓函數(shù)的實質性質，提出如下定理：

劉維爾第1定理

在一個周期平行四邊形內沒有極點的橢圓函數(shù)是常數(shù)；

劉維爾第2定理

橢圓函數(shù)在任一周期平行四邊形內的極點處殘數(shù)之和為0；

劉維爾第3定理

n階橢圓函數(shù)在一個周期平行四邊形內取任一值n次；

劉維爾第4定理

在一周期平行四邊形內零點之和與極點之和的差等于一個周期。

后來，到巴黎訪問的兩位德國數(shù)學家C．W．博爾夏特(Bor－chardt)和F．約赫姆塔爾(Joachimsthal)向劉維爾詳細請教了他的工作情況，而1850—1851年劉維爾在法蘭西學院講授的雙周期函數(shù)課程，也在C．A．布里奧(Briot)與J．C．布凱(Bou－quet)所著《雙周期函數(shù)論》(Théorie des fonctions doublementpériodiques，1859)一書中得到系統(tǒng)介紹。因此，盡管劉維爾的有關結論很少發(fā)表，仍能在法國內外迅速傳播并產生影響，雙周期函數(shù)的講義后來發(fā)表在1880年第88卷的德國《純粹與應用數(shù)學雜志》上。

微分方程與積分方程

19世紀，隨著各種曲線坐標系的引入和新的函數(shù)類如貝塞爾(Bessel)函數(shù)、勒讓德(Legendre)多項式等作為常微分方程的特征函數(shù)而興起，確定帶邊界條件的常微分方程的特征值與特征函數(shù)，便成為日益突出的重要問題。劉維爾和他的朋友、力學教授C．斯圖姆(Sturm)在30年代同時鉆研了這類問題。

數(shù)論

劉維爾對數(shù)論問題產生興趣是由費馬大定理開始的。1840年，他將費馬問題作了轉化，證明方程un+vn=wn的不可解性意味著x2n-y2n=2xn的不可解性。從1856年開始，劉維爾放棄了在其他方面幾乎所有的數(shù)學研究，而把精力投入到數(shù)論領域。

10年間，他在《純粹與應用數(shù)學雜志》上發(fā)表了18篇系列注記和近200篇短篇注記，前者未加證明地給出了許多一般公式，為解析數(shù)論的形成奠定了基礎，后者則個別地討論了素數(shù)性質和整數(shù)表示為二次型的方法等特殊問題。

其他

1836年，劉維爾與斯圖姆共同給出了關于代數(shù)方程虛根數(shù)目的柯西定理的證明；次年，他又用不同于阿貝爾的方法，解決了二元代數(shù)方程組的消元問題。這些都被J．A．塞雷(Serret)收入了他編寫的《高等代數(shù)教程》(Cours d’Algèbre superieure)第4版(1877)，得以在法國的學校中廣泛傳播。

為了發(fā)表伽羅瓦的著作，劉維爾從1843到1846年對其手稿進行了徹底的研究。在他為伽羅瓦的著作發(fā)表所寫的導言中，對伽羅瓦的工作給予了高度評價。他還邀請包括塞雷在內的一些朋友，參加關于伽羅瓦工作的系列演講。因此可以說，劉維爾間接地推動了近世代數(shù)學和群論的發(fā)展。

在幾何學方面，劉維爾于1841年和1844年用消去理論證明并推廣了M．沙勒(Chasles)建立的曲線和曲面的度量性質，還發(fā)現(xiàn)一種新方法，以確定任意橢圓曲面的測地線，這是雅可比在研究雙曲超越數(shù)時引出的問題。1850年他負責出版了G．蒙日(Monge)的著作《分析在幾何中的應用》(Application de l′anal－yse àla géométrie)第5版，在書末附上了C． F．高斯(Gauss)的名著“關于曲面的一般研究”(Disquisitiones generales circa su－perficies curvas)和他本人寫的7篇注記。這些注記涉及曲線及其相對曲率和測地曲率、測地線方程、總曲率概念等。劉維爾還有少量文章涉及熱理論、電學、天體力學和理論力學等問題。

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