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平面向量（物理學(xué)中定理定律）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-20

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平面向量

物理學(xué)中定理定律

平面向量是在二維平面內(nèi)既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理學(xué)中也稱作矢量，與之相對(duì)的是只有大小、沒有方向的數(shù)量（標(biāo)量）。平面向量用a,b,c上面加一個(gè)小箭頭表示，也可以用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示。

基本信息

中文名	平面向量
外文名	Plane vector
別名	矢量
提出者	英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓
特點(diǎn)	既有方向又有大小
應(yīng)用學(xué)科	數(shù)學(xué) 教育學(xué) 力學(xué)

收起

發(fā)展歷程

哈密頓

向量(矢量)這個(gè)術(shù)語(yǔ)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)-物理學(xué)中的一個(gè)重要概念，首先是由英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓使用的。向量的名詞雖來自哈密頓，但向量作為一條有向線段的思想?yún)s由來已久。向量理論的起源與發(fā)展主要有三條線索：物理學(xué)中的速度和力的平行四邊形法則、位置幾何、復(fù)數(shù)的幾何表示。

物理學(xué)中的速度與力的平行四邊形概念是向量理論的一個(gè)重要起源之一。18世紀(jì)中葉之后，歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接導(dǎo)致了在19世紀(jì)中葉向量力學(xué)的建立。同時(shí)，向量概念是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有著深刻的幾何背景。它始于萊布尼茲的位置幾何。

現(xiàn)代向量理論是在復(fù)數(shù)的幾何表示這條線索上發(fā)展起來的。18世紀(jì)，由于在一些數(shù)學(xué)的推導(dǎo)中用到復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何表示成為人們探討的熱點(diǎn)。哈密頓在做3維復(fù)數(shù)的模擬物的過程中發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)。隨后，吉布斯和亥維賽在四元數(shù)基礎(chǔ)上創(chuàng)造了向量分析系統(tǒng)，最終被廣為接受。

相關(guān)概念

有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段記作

。

向量的模：有向線段AB的長(zhǎng)度叫做向量的模，記作

。

零向量：長(zhǎng)度等于0的向量叫做零向量，記作0。

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

平行向量（共線向量）：兩個(gè)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量。

單位向量：模等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量，通常用e表示。

相反向量：與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，

，零向量的相反向量仍然是零向量。

表示方法

幾何表示

具有方向的線段叫做有向線段，我們以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段作為向量，可以記作

。但是，區(qū)別于有向線段，在一般的數(shù)學(xué)研究中，向量是可以平移的。

坐標(biāo)表示

向量的坐標(biāo)表示

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底。任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得：

，我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)。

其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量的坐標(biāo)表示。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示。

根據(jù)定義，任取平面上兩點(diǎn)

即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。

書寫方法

向量加法的四邊形法則

印刷體：只用小寫字母表示時(shí)，采用加粗黑體；用首尾點(diǎn)大寫字母表示時(shí)，需要在字母上加箭頭，如

；

手寫體：均需在字母上加箭頭表示，如

、

。

運(yùn)算性質(zhì)

向量同數(shù)量一樣，也可以進(jìn)行運(yùn)算。向量可以參與多種運(yùn)算過程，包括線性運(yùn)算（加法、減法和數(shù)乘）、數(shù)量積、向量積與混合積等。

下面介紹運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，將統(tǒng)一作如下規(guī)定：任取平面上兩點(diǎn)

，

。

加法

向量加法的三角形法則

已知向量AB、BC，再作向量AC，則向量AC叫做AB、BC的和，記作AB+BC，即有：

。

用坐標(biāo)表示時(shí)，顯然有：

。這就是說，兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差

三角形法則：

，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則，簡(jiǎn)記為：首尾相連、連接首尾、指向終點(diǎn)。

四邊形法則：已知兩個(gè)從同一點(diǎn)A出發(fā)的兩個(gè)向量AC、AB，以AC、AB為鄰邊作平行四邊形ACDB，則以A為起點(diǎn)的對(duì)角線AD就是向量AC、AB的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則，簡(jiǎn)記為：共起點(diǎn) 對(duì)角連。

對(duì)于零向量和任意向量a，有：

。

向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律，如：交換律、結(jié)合律。

減法

，這種計(jì)算法則叫做向量減法的三角形法則，簡(jiǎn)記為：共起點(diǎn)、指被減。

。

數(shù)乘

實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作

。當(dāng)

時(shí)，

的方向和a的方向相同，當(dāng)

時(shí)，

的方向和a的方向相反，當(dāng)

時(shí)，

。

用坐標(biāo)表示的情況下有：

設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么滿足如下運(yùn)算性質(zhì)：

數(shù)量積

已知兩個(gè)非零向量a、b，那么

（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作

。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。數(shù)量積a·b的幾何意義是：a的長(zhǎng)度

與b在a的方向上的投影

的乘積。

兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即：若

，則

數(shù)量積具有以下性質(zhì)：

向量積

向量積示意圖

向量a與向量b的夾角：已知兩個(gè)非零向量，過O點(diǎn)做向量

，向量

，則

叫做向量a與b的夾角，記作

。已知兩個(gè)非零向量a、b，那么

叫做a與b的向量積或外積。向量積幾何意義是以a和b為邊的平行四邊形面積，即

。

若a、b不共線，

是一個(gè)向量，其模是

，

的方向?yàn)榇怪庇赼和b，且a、b和

按次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則

。

若

，則有：

向量積具有如下性質(zhì)：

混合積

給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數(shù)量積

，所得的數(shù)叫做三向量a、b、c的混合積，記作

或

，即

混合積具有下列性質(zhì)：

1.三個(gè)不共面向量a、b、c的混合積的絕對(duì)值等于以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，并且當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)混合積是正數(shù)；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)，混合積是負(fù)數(shù)，即

（當(dāng)a、b、c構(gòu)成右手系時(shí)

；當(dāng)a、b、c構(gòu)成左手系時(shí)

）

2.上條性質(zhì)的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是

基本定理

平面向量

如果e和e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ，使

。

有關(guān)推論

?三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)O，

，則點(diǎn)O是三角形的垂心。

?若O是三角形ABC的外心，點(diǎn)M滿足

，則M是三角形ABC的垂心。

?若O和三角形ABC共面，且滿足

，則O是三角形ABC的重心。

?三點(diǎn)共線：三點(diǎn)A,B,C共線推出

?平面三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，則S

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