復(fù)立體是在廣義冪指函數(shù)角度下的復(fù)平面理論。

外文名

CuiGe

定義

用三個維度擴展復(fù)平面

復(fù)立體定義

復(fù)立體附圖

如左圖所示，在三維空間中存在實軸。在實軸的原點處作垂面1定義為虛面。在虛面上作單位圓定義為虛圓。從虛圓圓上選取某特定的一個直徑和實軸組成面2定義為標準復(fù)平面。虛圓上其他直徑和實軸組成非標準復(fù)平面。

虛圓上的點即由-1所有二次方根組成。選定的直徑為i∠(0)和i∠(-1)（定義見后，前者即為i，后者即為-i）。

無論標準復(fù)平面還是非標準復(fù)平面，其面內(nèi)皆可以進行加減等運算。同時，標準復(fù)平面就是現(xiàn)有的復(fù)平面，

目前的復(fù)平面理論皆適用。

任何復(fù)立體中的點，都可以用一個從原點出發(fā)的矢量（稱為復(fù)立體矢量）表示，這種矢量不同于(i,j,k)矢量。

這個時候，任何復(fù)立體中的點，都表示為a×1+b×ix。其中，b×ix為廣義虛數(shù)，ix形式為i∠(x)。

復(fù)立體討論

根據(jù)公式

w^z=exp(z*Lnw)

=exp{z*[i*(arg(w)+2kπ)+ln|w|]}，得到：

i^i和(-i)^(-i)均為exp[(π/2)+2kπ]。

Exp[(π/2)+2kπ]是個多等式，起因是Lnw多值引起。但是，換個角度，也可以認為i值多值引起，即假定定義某個ix，是現(xiàn)有復(fù)數(shù)i的一個元素，對應(yīng)于Exp{-[(π/2)+2kπ]}的某個k。不同的ix對應(yīng)不同的k值。用i∠(x)括號中的數(shù)字來區(qū)分各個解。由于π/2并非唯一候選值，故括號中的數(shù)字為對應(yīng)于π/2時候的k。

這樣，-1即有無窮二次方根。從上面的復(fù)立體角度看，就是這些根均位于同一個平面上。

意義

復(fù)立體推廣了復(fù)平面理論，并指出代數(shù)基本定理需要推廣。