矩陣行列式是指矩陣的全部元素構(gòu)成的行列式，設(shè)A=(aij)是數(shù)域P上的一個(gè)n階矩陣，則所有A=(aij)中的元素組成的行列式稱為矩陣A的行列式，記為|A|或det(A)。

中文名

矩陣行列式

外文名

determinant of a matrix

定義

矩陣的全部元素構(gòu)成的行列式

所屬學(xué)科

數(shù)學(xué)

所屬問題

高等代數(shù)(矩陣)

基本介紹

一個(gè)n×n的方陣A的行列式記為det(

A

)或者|

A

|，一個(gè)2×2矩陣的行列式可表示如下：

矩陣行列式

把一個(gè)n階行列式中的元素a所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素a的余子式，記作M。記

A

=(-1)

M

，叫做元素a的

代數(shù)余子式

。例如：

矩陣行列式

矩陣行列式

一個(gè)n×n矩陣的行列式等于其任意行(或列)的元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即:

矩陣行列式

定理

定理1

設(shè)A為一n×n矩陣，則det(A)=det(A)。

證

對(duì)n采用數(shù)學(xué)歸納法證明。顯然，因?yàn)?×1矩陣是對(duì)稱的，該結(jié)論對(duì)n=1是成立的。假設(shè)這個(gè)結(jié)論對(duì)所有k×k矩陣也是成立的，對(duì)(k+1)×(k+1)矩陣A，將det(A)按照A的第一行展開，我們有：

det(A)=adet(M)-adet(M)+-…±adet(M)，

由于M均為k×k矩陣，由歸納假設(shè)有

矩陣行列式

此式右端恰是det(A)按照A的第一列的余子式展開。因此

矩陣行列式

定理2

設(shè)A為一n×n三角形矩陣。則A的行列式等于A的對(duì)角元素的乘積。

根據(jù)定理1，只需證明結(jié)論對(duì)下三角形矩陣成立。利用余子式展開和對(duì)n的歸納法，容易證明這個(gè)結(jié)論。

定理3

令A(yù)為n×n矩陣。

(i) 若A有一行或一列包含的元素全為零，則det(A)=0。

(ii) 若A有兩行或兩列相等，則det(A)=0。

這些結(jié)論容易利用余子式展開加以證明。