婆羅摩笈多定理是婆羅摩笈多提出的數(shù)學定理，別名布拉美古塔定理。外文名Brahmagupta theorem。提出時間公元628年。若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。推廣過圓內接四邊形兩對角線交點作任一邊的垂線，必過以其對邊為一邊，以交點為頂點的三角形的外心。

中文名

婆羅摩笈多定理

外文名

Brahmagupta theorem

別名

布拉美古塔定理

提出者

婆羅摩笈多

應用學科

數(shù)學

適用領域

幾何

提出時間

約公元628年

定理定義

若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則垂直于一邊且過對角線交點的直線將平分對邊。這個定理有另一個名稱，叫做"布拉美古塔定理"（又譯"卜拉美古塔定理"）。

驗證推導

方法一

方法一圖片

如圖，運用向量證明。

∵B、F、A共線，由共線向量基本定理可知，存在唯一實數(shù)k，使

EF

=(1-k)

EB

+k

EA

。其中

BF

=k

BA

又EF⊥CD

∴

EF

·

CD

=[(1-k)

EB

+k

EA

]·(

CE

+

ED

)=0

展開得(1-k)

EB

·

CE

+k

EA

·

CE

+(1-k)

EB

·

ED

+k

EA

·

ED

=0

∵EB⊥CE、EA⊥ED，即

EB

·

CE

=0，

EA

·

ED

=0

∴k

EA

·

CE

+(1-k)

EB

·

ED

=0

即k|

EA

||

CE

|cos0+(1-k)|

EB

||

ED

|cosπ=0

kEA*EC=(1-k)EB*ED

∵EA*EC=EB*ED(相交弦定理)

∴k=1-k，k=1/2

∴

BF

=1/2*

BA

，即F是BA中點

方法二

方法二圖片

如圖，運用幾何證明。

∵AC⊥BD，ME⊥BC

∴∠CBD=∠CME

∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF

∴∠CAD=∠AMF

∴AF=MF

∵∠AMD=90°，同時∠MAD+∠MDA=90°

∴∠FMD=∠FDM

∴MF=DF，即F是AD中點

定理推廣

若圓內接四邊形的對角線相互垂直，則一邊中點與對角線交點的連線垂直于對邊。

如上圖，圓內接四邊形ABCD中，AC⊥BD，M是垂足。F是AD中點，則FM⊥BC。

過圓內接四邊形兩對角線交點做另一邊的垂線，必過其對邊為一邊，以交點為一頂點的三角形的外心。

證明

方法一

婆羅摩笈多定理

∵MA⊥MD，F(xiàn)是AD中點

∴AF=MF

∴∠CAD=∠AMF

∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME

∴∠CBD=∠CME

∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°

∴∠CBD+∠BME=90°

∴EF⊥BC

方法二

婆羅摩笈多定理

∵F是BA中點

∴

EF

=1/2*(

EA

+

EB

)

CD

=

CE

+

ED

EF

·

CD

=1/2*(

EA

+

EB

)·(

CE

+

ED

)

EF

·

CD

=1/2*(

EA

·

CE

+

EA

·

ED

+

EB

·

CE

+

EB

·

ED

)

EF

·

CD

=1/2*(EA*EC-EB*ED)=0

∴EF⊥CD

定理說明

1.此定理是很冷門的（被考即是因為冷門），最好題前引例證明

2.向量法證明是很方便的方法，特別是另一版本的證明，自己想出來的，比我看的任何證明過程都簡單很多

3.想要抓住聯(lián)賽的幾何題，類似的冷門定理要多掌握