極大子群（極大子群）

概念

極大子群(maximal subgroup)是一種重要的子群。是有限群的子群。即在包含的意義下極大的真子群。它是群G的真子群H，且G與H之間無(wú)G的其他真子群。若H是群G的真子群，并且，對(duì)于G的真子群K，由

群

群是一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來(lái)建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對(duì)G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱(chēng)為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱(chēng)為“乘積”)滿(mǎn)足：

(1)封閉性，

(2)結(jié)合律，即

(3)對(duì)G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得

滿(mǎn)足交換律的群，稱(chēng)為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對(duì)稱(chēng)，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來(lái)定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類(lèi)?？梢哉f(shuō)，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱(chēng)，是伽羅華在1830年首先提出的。

子群

如果群G的非空子集合H對(duì)于G的運(yùn)算也成一個(gè)群，那么H稱(chēng)為G的子群。

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對(duì)G的乘法也成為群，則稱(chēng)H為G的子群，記為

對(duì)偶概念——極小子群

極小子群是一種重要的子群。極大子群的對(duì)偶概念。指在包含的意義下，群的最小的非平凡真子群。它是群G的真子群K，且K除了單位元群

有限群

循環(huán)群的任一直積是有限交換群。反之，任一有限交換群必具有這種形式。特別，其階為素?cái)?shù)的所有有限群皆是循環(huán)群。

任一有限群(不一定是交換的)同構(gòu)于一有限集的置換群的一個(gè)子群。目前，人們還沒(méi)有弄清楚有限群的分類(lèi)。

非交換的有限群之研究目前基本上停留在p-群的概念上。這是指其階為一個(gè)素?cái)?shù)p的冪的有限群。有限群G的所有最大p-子群叫做G的西羅子群；G的所有西羅p-子群都是共軛的，而它們的公共階是能整除G的階的p之最大冪。

具有有限多個(gè)元素的群，是群論的重要內(nèi)容之一。其所含元素的個(gè)數(shù)，稱(chēng)為有限群的階。歷史上，抽象群論的許多概念起源于有限群論。有限群可分為兩大類(lèi)：可解群與非可解群(即單群)。

有限群的研究起源很早，其形成時(shí)期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及后來(lái)的伽羅瓦、若爾當(dāng)?shù)热说拿窒嗦?lián)系的。如何確定可解群和單群是抽象群理論建立后的一個(gè)重要發(fā)展方向。德國(guó)數(shù)學(xué)家赫爾德在1889年以后的若干年內(nèi)，詳細(xì)地研究了單群和可解群，證明：一個(gè)素?cái)?shù)階循環(huán)群是單群，n個(gè)(