在數(shù)學(xué)中，閔可夫斯基不等式（Minkowski inequality）是德國數(shù)學(xué)家赫爾曼·閔可夫斯基提出的重要不等式，該不等式表明Lp空間是一個賦范向量空間。?

閔可夫斯基的主要工作在數(shù)論、代數(shù)和數(shù)學(xué)物理上。在數(shù)論上，他對二次型進行了重要的研究。在1881年法國大獎中，Minkowski深入鉆研了高斯（Gauss）、狄利克雷（Dirichlet） 等人的論著。

公式簡介

閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864－1909）出生于俄國的 Alexotas (現(xiàn)在變成立陶宛的 Kaunas)。父親是一個成功的猶太商人，但是當時的俄國政府迫害猶太人，所以當閔可夫斯基八歲時，父親就帶全家搬到普魯士的 Konigsberg (哥尼斯堡)定居，和另一位數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert ）的家僅一河之隔。閔可夫斯基有兩個哥哥，他是幺弟。大哥 Max 在俄國時因為種族歧視，不能進學(xué)校讀書，后來也一直沒有受正規(guī)教育，長大后與他父親一起經(jīng)商，繼承父業(yè)成為一個成功的商人。二哥就是發(fā)現(xiàn)胰島素和糖尿病關(guān)聯(lián)的著名醫(yī)學(xué)家 Oscar Minkowski，人稱“胰島素之父”。閔可夫斯基本人則因數(shù)學(xué)才能出眾，早有神童之名，后來更是優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家。他們兄弟三人都十分杰出，在Konigsberg曾經(jīng)轟動一時。

閔可夫斯基的主要工作在數(shù)論、代數(shù)和數(shù)學(xué)物理上。在數(shù)論上，他對二次型進行了重要的研究。在1881年法國大獎中，Minkowski深入鉆研了高斯（Gauss）、狄利克雷（Dirichlet） 等人的論著。因為Gauss曾在研究把一個整數(shù)分解為三個平方數(shù)之和時用了二元二次型的性質(zhì)，Minkowski由前人的工作中認識到把一個整數(shù)分解為五個平方數(shù)之和的方法與四元二次型有關(guān)。由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理論體系。這樣一來，原題就很容易從更一般的理論中得出，Minkowski交給法國科學(xué)院的論文長達140頁，遠遠超出了原題的范圍。

公式定義

在數(shù)學(xué)中，

閔可夫斯基不等式

（Minkowski inequality）表明Lp空間是一個賦范向量空間。設(shè)S是一個 度量空間，，那么，我們有：

如果，等號成立當且僅當，或者

閔可夫斯基不等式是Lp(S)中的三角不等式。它可以用赫爾德不等式來證明。和赫爾德不等式一樣，閔可夫斯基不等式取可數(shù)測度可以寫成序列或向量的特殊形式：

對所有實數(shù)，這里n是S的維數(shù)；改成復(fù)數(shù)同樣成立，沒有任何難處。

值得指出的是，如果，

，則可以變?yōu)椤?h3>積分形式證明

我們考慮的p次冪：

（用三角形不等式展開

）

（用 赫爾德不等式）

（利用

，因為）

現(xiàn)在我們考慮這個不等式序列的首尾兩項，除以最后那個表達式的后面那個因子，我們得到:

因為，我們最終得出：

這就是我們所要的結(jié)論。

對于序列的情況，證明是完全類似的。