胡爾維茨定理是關于解析函數序列的各項與它們的極限函數在一條簡單閉曲線內部零點個數之間關系的定理。

簡介

設D是一個區(qū)域,D內的解析函數序列式f(z)在D內閉一致收斂于函數f(z),f(z)不恒為0,并設Γ是D內的任意一條簡單閉曲線,其內部也在D內,且Γ不經過函數f(z)的零點,則存在一個依賴于曲線Γ的正整數N,使得當n>N時,函數式f(z)在Γ內部的零點個數等于函數f(z)在Γ內部的零點個數。

推論

由胡爾維茨定理可以推出:若解析函數序列式f(z)都在D內單葉,則f(z)在D內也單葉。

解析函數

解析函數是區(qū)域上處處可微分的復函數。17世紀,L.歐拉和J.leR.達朗貝爾在研究水力學時已發(fā)現平面不可壓縮流體的無旋場的勢函數Φ(x,y)與流函數Ψ(x,y)有連續(xù)的偏導數,且滿足微分方程組,并指出f(z)=Φ(x,y)+iΨ(x,y)是可微函數,這一命題的逆命題也成立。

柯西把區(qū)域上處處可微的復函數稱為單演函數,后人又把它們稱為全純函數、解析函數。B.黎曼從這一定義出發(fā)對復函數的微分作了深入的研究,后來,就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程,或柯西-黎曼條件。