偏微分方程（用于數(shù)學(xué)、物理領(lǐng)域的方程）

方程解釋

客觀世界的物理量一般是隨時(shí)間和空間位置而變化的，因而可以表達(dá)為時(shí)間坐標(biāo)t和空間坐標(biāo)

例如在一個(gè)均勻的傳熱物體中，溫度u就滿足下面的等式：

這樣一類的包含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的等式稱為偏微分方程。一般說(shuō)來(lái)，如果

這里F是它的變?cè)暮瘮?shù)，

由若干個(gè)偏微分方程所構(gòu)成的等式組就稱為偏微分方程組，其未知函數(shù)也可以是若干個(gè)。當(dāng)方程的個(gè)數(shù)超過(guò)未知函數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，就稱這偏微分方程組為超定的；當(dāng)方程的個(gè)數(shù)少于未知函數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，就稱為欠定的。

如果一個(gè)偏微分方程（組）關(guān)于所有的未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是線性的，則稱為線性偏微分方程（組）。否則，稱為非線性偏微分方程（組）。在非線性偏微分方程（組）中，如果對(duì)未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)來(lái)說(shuō)是線性的，那么就稱為擬線性偏微分方程（組）。

設(shè)Ω是自變數(shù)空間R中一個(gè)區(qū)域，u是在這個(gè)區(qū)域上定義的具|α|階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。如果它能使方程(2)在Ω上恒等成立，那么就稱u是該方程在Ω中的一個(gè)經(jīng)典意義下的解，簡(jiǎn)稱為經(jīng)典解。在不致誤會(huì)的情況下，就稱為解。

偏微分方程理論研究一個(gè)方程（組）是否有滿足某些補(bǔ)充條件的解（解的存在性），有多少個(gè)解（解的惟一性或自由度），解的各種性質(zhì)以及求解方法等等，并且還要盡可能地用偏微分方程來(lái)解釋和預(yù)見(jiàn)自然現(xiàn)象以及把它用之于各門(mén)科學(xué)和工程技術(shù)。偏微分方程理論的形成和發(fā)展都與物理學(xué)和其他自然科學(xué)的發(fā)展密切相關(guān)，并彼此促進(jìn)和推動(dòng)。其他數(shù)學(xué)分支，如分析學(xué)、幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等理論的發(fā)展也都給予偏微分方程以深刻的影響。

在科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展過(guò)程中，人們研究的許多問(wèn)題用一個(gè)自變量的函

比如，從物理角度來(lái)說(shuō)，物理量有不同的性質(zhì)，溫度、密度等是用數(shù)值來(lái)描述的叫做純量；速度、電場(chǎng)的引力等，不僅在數(shù)值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點(diǎn)上的張力狀態(tài)的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和時(shí)間有關(guān)系，而且和空間坐標(biāo)也有聯(lián)系，這就要用多個(gè)變量的函數(shù)來(lái)表示。

應(yīng)該指出，對(duì)于所有可能的物理現(xiàn)象用某些多個(gè)變量的函數(shù)表示，只能是理想化的，如介質(zhì)的密度，實(shí)際上“在一點(diǎn)”的密度是不存在的。而我們把在一點(diǎn)的密度看作是物質(zhì)的質(zhì)量和體積的比當(dāng)體積無(wú)限縮小的時(shí)候的極限，這就是理想化的。介質(zhì)的溫度也是這樣。這樣就產(chǎn)生了研究某些物理現(xiàn)象的理想了的多個(gè)變量的函數(shù)方程，這種方程就是偏微分方程。

起源

微積分方程這門(mén)學(xué)科產(chǎn)生于十八世紀(jì)，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動(dòng)的二階方程，隨后不久，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾也在他的著作《論動(dòng)力學(xué)》中提出了特殊的偏微分方程。不過(guò)這些著作當(dāng)時(shí)沒(méi)有引起多大注意。

1746年，達(dá)朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究》中，提議證明無(wú)窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動(dòng)的模式。這樣就由對(duì)弦振動(dòng)的研究開(kāi)創(chuàng)了偏微分方程這門(mén)學(xué)科。

和歐拉同時(shí)代的瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·貝努利也研究了數(shù)學(xué)物理方面的問(wèn)題，提出了解彈性系振動(dòng)問(wèn)題的一般方法，對(duì)偏微分方程的發(fā)展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門(mén)學(xué)科的內(nèi)容。

偏微分方程得到迅速發(fā)展是在十九世紀(jì)，那時(shí)候，數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的研究繁榮起來(lái)了，許多數(shù)學(xué)家都對(duì)數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的解決做出了貢獻(xiàn)。

這里應(yīng)該提一提法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉，他年輕的時(shí)候就是一個(gè)出色的數(shù)學(xué)學(xué)者。在從事熱流動(dòng)的研究中，寫(xiě)出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對(duì)偏微分方程的發(fā)展的影響是很大的。

示例

二階線性與非線性偏微分方程始終是重要的研究對(duì)象。

這類方程通常劃分成橢圓型、雙曲型與拋物型三類，圍繞這三類方程所建立和討論的基本問(wèn)題是各種邊值問(wèn)題、初值問(wèn)題與混合問(wèn)題之解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性及漸近性等性質(zhì)以及求解方法。

近代物理學(xué)、力學(xué)及工程技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)生出許多新的非線性問(wèn)題，它們常常導(dǎo)引出除上述方程之外的稱為混合型方程、退化型方程及高階偏微分方程等有關(guān)問(wèn)題，這些問(wèn)題通常十分復(fù)雜具有較大的難度，至今為止，一直是重要的研究課題。

對(duì)于偏微分方程問(wèn)題的討論和解決，往往需要應(yīng)用泛函分析、代數(shù)與拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何學(xué)等其它數(shù)學(xué)分支的理論和方法。另一方面，由于電子計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，使得各種方程均可數(shù)值求解，并且揭示了許多重要事實(shí)，因此，數(shù)值解法的研究，在已取得許多重要成果的基礎(chǔ)上，將會(huì)有更快地發(fā)展。

弦振動(dòng)是一種機(jī)械運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本定律是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的

弦是指又細(xì)又長(zhǎng)的彈性物質(zhì)，比如弦樂(lè)器所用的弦就是細(xì)長(zhǎng)的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時(shí)候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬(wàn)倍。當(dāng)演奏的人用薄片撥動(dòng)或者用弓在弦上拉動(dòng)，雖然只有其所接觸的一段弦振動(dòng)，但是由于張力的作用，傳播到使整個(gè)弦振動(dòng)起來(lái)。

用微分的方法分析可得到弦上一點(diǎn)的位移是這一點(diǎn)所在的位置和時(shí)間為自變量的偏微分方程，屬于數(shù)學(xué)物理方程中的波動(dòng)方程，也就是雙曲型偏微分方程。

偏微分方程的解一般有無(wú)窮多個(gè)，但是解決具體的物理問(wèn)題的時(shí)候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因?yàn)槠⒎址匠淌峭活惉F(xiàn)象的共同規(guī)律的表示式，僅僅知道這種共同規(guī)律還不足以掌握和了解具體問(wèn)題的特殊性，所以就物理現(xiàn)象來(lái)說(shuō)，各個(gè)具體問(wèn)題的特殊性就在于研究對(duì)象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。

對(duì)于同樣的弦的弦樂(lè)器，如果一種是以薄片撥動(dòng)弦，另一種是以弓在弦上拉動(dòng)，那么它們發(fā)出的聲音是不同的。原因就是由于“撥動(dòng)”或“拉動(dòng)”的那個(gè)“初始”時(shí)刻的振動(dòng)情況不同，因此產(chǎn)生后來(lái)的振動(dòng)情況也就不同。

天文學(xué)中也有類似弦振動(dòng)的情況，如果要通過(guò)計(jì)算預(yù)言天體的運(yùn)動(dòng)，必須要知道這些天體的質(zhì)量，同時(shí)除了牛頓定律的一般公式外，還必須知道我們所研究的天體系統(tǒng)的初始狀態(tài)，就是在某個(gè)起始時(shí)間，這些天體的分布以及它們的速度。在解決任何數(shù)學(xué)物理方程的時(shí)候，總會(huì)有類似的附加條件。

當(dāng)然，客觀實(shí)際中也還是有“沒(méi)有初始條件的問(wèn)題”，如定場(chǎng)問(wèn)題（靜電場(chǎng)、穩(wěn)定濃度分布、穩(wěn)定溫度分布等），也有“沒(méi)有邊界條件的問(wèn)題”。

在數(shù)學(xué)上，初始條件和邊界條件叫做定解條件。

偏微分方程本身是表達(dá)同一類物理現(xiàn)象的共性，是作為解決問(wèn)題的依據(jù)；定解條件卻反映出具體問(wèn)題的個(gè)性，它提出了問(wèn)題的具體情況。方程和定解條件合而為一體，就叫做定解問(wèn)題。

求偏微分方程的定解問(wèn)題可以先求出它的通解，然后再用定解條件確定出函數(shù)。但是一般來(lái)說(shuō)，在實(shí)際中通解是不容易求出的，用定解條件確定函數(shù)更是比較困難的。

偏微分方程的解法還可以用分離系數(shù)法，也叫做傅立葉級(jí)數(shù)；還可以用分離變數(shù)法，也叫做傅立葉變換或傅立葉積分。分離系數(shù)法可以求解有界空間中的定解問(wèn)題，分離變數(shù)法可以求解無(wú)界空間的定解問(wèn)題；也可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數(shù)學(xué)物理方程的定解。對(duì)方程實(shí)行拉普拉斯變換可以轉(zhuǎn)化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解出常微分方程后進(jìn)行反演就可以了。

應(yīng)該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問(wèn)題是不能嚴(yán)格解出的，只可以用近似方法求出滿足實(shí)際需要的近似程度的近似解。

常用的方法有變分法和有限差分法。

變分法是把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成變分問(wèn)題，再求變分問(wèn)題的近似解；

有限差分法是把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，然后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。

還有一種更有意義的模擬法，它用另一個(gè)物理的問(wèn)題實(shí)驗(yàn)研究來(lái)代替所研究某個(gè)物理問(wèn)題的定解。雖然物理現(xiàn)象本質(zhì)不同，但是抽象地表示在數(shù)學(xué)上是同一個(gè)定解問(wèn)題，如研究某個(gè)不規(guī)則形狀的物體里的穩(wěn)定溫度分布問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上是拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題，由于求解比較困難，可作相應(yīng)的靜電場(chǎng)或穩(wěn)恒電流場(chǎng)實(shí)驗(yàn)研究，測(cè)定場(chǎng)中各處的電勢(shì)，從而也解決了所研究的穩(wěn)定溫度場(chǎng)中的溫度分布問(wèn)題。

隨著物理科學(xué)所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴(kuò)展，偏微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛。從數(shù)學(xué)自身的角度看，偏微分方程的求解促使數(shù)學(xué)在函數(shù)論、變分法、級(jí)數(shù)展開(kāi)、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進(jìn)行發(fā)展。從這個(gè)角度說(shuō)，偏微分方程變成了數(shù)學(xué)的中心。