偏微分方程（用于數(shù)學(xué)、物理領(lǐng)域的方程）

方程解釋

客觀世界的物理量一般是隨時間和空間位置而變化的，因而可以表達(dá)為時間坐標(biāo)t和空間坐標(biāo)

例如在一個均勻的傳熱物體中，溫度u就滿足下面的等式：

這樣一類的包含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的等式稱為偏微分方程。一般說來，如果

這里F是它的變元的函數(shù)，

由若干個偏微分方程所構(gòu)成的等式組就稱為偏微分方程組，其未知函數(shù)也可以是若干個。當(dāng)方程的個數(shù)超過未知函數(shù)的個數(shù)時，就稱這偏微分方程組為超定的；當(dāng)方程的個數(shù)少于未知函數(shù)的個數(shù)時，就稱為欠定的。

如果一個偏微分方程（組）關(guān)于所有的未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是線性的，則稱為線性偏微分方程（組）。否則，稱為非線性偏微分方程（組）。在非線性偏微分方程（組）中，如果對未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)來說是線性的，那么就稱為擬線性偏微分方程（組）。

設(shè)Ω是自變數(shù)空間R中一個區(qū)域，u是在這個區(qū)域上定義的具|α|階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。如果它能使方程(2)在Ω上恒等成立，那么就稱u是該方程在Ω中的一個經(jīng)典意義下的解，簡稱為經(jīng)典解。在不致誤會的情況下，就稱為解。

偏微分方程理論研究一個方程（組）是否有滿足某些補充條件的解（解的存在性），有多少個解（解的惟一性或自由度），解的各種性質(zhì)以及求解方法等等，并且還要盡可能地用偏微分方程來解釋和預(yù)見自然現(xiàn)象以及把它用之于各門科學(xué)和工程技術(shù)。偏微分方程理論的形成和發(fā)展都與物理學(xué)和其他自然科學(xué)的發(fā)展密切相關(guān)，并彼此促進(jìn)和推動。其他數(shù)學(xué)分支，如分析學(xué)、幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等理論的發(fā)展也都給予偏微分方程以深刻的影響。

在科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展過程中，人們研究的許多問題用一個自變量的函

比如，從物理角度來說，物理量有不同的性質(zhì)，溫度、密度等是用數(shù)值來描述的叫做純量；速度、電場的引力等，不僅在數(shù)值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點上的張力狀態(tài)的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和時間有關(guān)系，而且和空間坐標(biāo)也有聯(lián)系，這就要用多個變量的函數(shù)來表示。

應(yīng)該指出，對于所有可能的物理現(xiàn)象用某些多個變量的函數(shù)表示，只能是理想化的，如介質(zhì)的密度，實際上“在一點”的密度是不存在的。而我們把在一點的密度看作是物質(zhì)的質(zhì)量和體積的比當(dāng)體積無限縮小的時候的極限，這就是理想化的。介質(zhì)的溫度也是這樣。這樣就產(chǎn)生了研究某些物理現(xiàn)象的理想了的多個變量的函數(shù)方程，這種方程就是偏微分方程。

起源

微積分方程這門學(xué)科產(chǎn)生于十八世紀(jì)，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動的二階方程，隨后不久，法國數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾也在他的著作《論動力學(xué)》中提出了特殊的偏微分方程。不過這些著作當(dāng)時沒有引起多大注意。

1746年，達(dá)朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中，提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。這樣就由對弦振動的研究開創(chuàng)了偏微分方程這門學(xué)科。

和歐拉同時代的瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·貝努利也研究了數(shù)學(xué)物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發(fā)展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學(xué)科的內(nèi)容。

偏微分方程得到迅速發(fā)展是在十九世紀(jì)，那時候，數(shù)學(xué)物理問題的研究繁榮起來了，許多數(shù)學(xué)家都對數(shù)學(xué)物理問題的解決做出了貢獻(xiàn)。

這里應(yīng)該提一提法國數(shù)學(xué)家傅立葉，他年輕的時候就是一個出色的數(shù)學(xué)學(xué)者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發(fā)展的影響是很大的。

示例

二階線性與非線性偏微分方程始終是重要的研究對象。

這類方程通常劃分成橢圓型、雙曲型與拋物型三類，圍繞這三類方程所建立和討論的基本問題是各種邊值問題、初值問題與混合問題之解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性及漸近性等性質(zhì)以及求解方法。

近代物理學(xué)、力學(xué)及工程技術(shù)的發(fā)展產(chǎn)生出許多新的非線性問題，它們常常導(dǎo)引出除上述方程之外的稱為混合型方程、退化型方程及高階偏微分方程等有關(guān)問題，這些問題通常十分復(fù)雜具有較大的難度，至今為止，一直是重要的研究課題。

對于偏微分方程問題的討論和解決，往往需要應(yīng)用泛函分析、代數(shù)與拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何學(xué)等其它數(shù)學(xué)分支的理論和方法。另一方面，由于電子計算機的迅速發(fā)展，使得各種方程均可數(shù)值求解，并且揭示了許多重要事實，因此，數(shù)值解法的研究，在已取得許多重要成果的基礎(chǔ)上，將會有更快地發(fā)展。

弦振動是一種機械運動，當(dāng)然機械運動的基本定律是質(zhì)點力學(xué)的

弦是指又細(xì)又長的彈性物質(zhì)，比如弦樂器所用的弦就是細(xì)長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當(dāng)演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只有其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。

用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程，屬于數(shù)學(xué)物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。

偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因為偏微分方程是同一類現(xiàn)象的共同規(guī)律的表示式，僅僅知道這種共同規(guī)律還不足以掌握和了解具體問題的特殊性，所以就物理現(xiàn)象來說，各個具體問題的特殊性就在于研究對象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。

對于同樣的弦的弦樂器，如果一種是以薄片撥動弦，另一種是以弓在弦上拉動，那么它們發(fā)出的聲音是不同的。原因就是由于“撥動”或“拉動”的那個“初始”時刻的振動情況不同，因此產(chǎn)生后來的振動情況也就不同。

天文學(xué)中也有類似弦振動的情況，如果要通過計算預(yù)言天體的運動，必須要知道這些天體的質(zhì)量，同時除了牛頓定律的一般公式外，還必須知道我們所研究的天體系統(tǒng)的初始狀態(tài)，就是在某個起始時間，這些天體的分布以及它們的速度。在解決任何數(shù)學(xué)物理方程的時候，總會有類似的附加條件。

當(dāng)然，客觀實際中也還是有“沒有初始條件的問題”，如定場問題（靜電場、穩(wěn)定濃度分布、穩(wěn)定溫度分布等），也有“沒有邊界條件的問題”。

在數(shù)學(xué)上，初始條件和邊界條件叫做定解條件。

偏微分方程本身是表達(dá)同一類物理現(xiàn)象的共性，是作為解決問題的依據(jù)；定解條件卻反映出具體問題的個性，它提出了問題的具體情況。方程和定解條件合而為一體，就叫做定解問題。

求偏微分方程的定解問題可以先求出它的通解，然后再用定解條件確定出函數(shù)。但是一般來說，在實際中通解是不容易求出的，用定解條件確定函數(shù)更是比較困難的。

偏微分方程的解法還可以用分離系數(shù)法，也叫做傅立葉級數(shù)；還可以用分離變數(shù)法，也叫做傅立葉變換或傅立葉積分。分離系數(shù)法可以求解有界空間中的定解問題，分離變數(shù)法可以求解無界空間的定解問題；也可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數(shù)學(xué)物理方程的定解。對方程實行拉普拉斯變換可以轉(zhuǎn)化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解出常微分方程后進(jìn)行反演就可以了。

應(yīng)該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問題是不能嚴(yán)格解出的，只可以用近似方法求出滿足實際需要的近似程度的近似解。

常用的方法有變分法和有限差分法。

變分法是把定解問題轉(zhuǎn)化成變分問題，再求變分問題的近似解；

有限差分法是把定解問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，然后用計算機進(jìn)行計算。

還有一種更有意義的模擬法，它用另一個物理的問題實驗研究來代替所研究某個物理問題的定解。雖然物理現(xiàn)象本質(zhì)不同，但是抽象地表示在數(shù)學(xué)上是同一個定解問題，如研究某個不規(guī)則形狀的物體里的穩(wěn)定溫度分布問題，在數(shù)學(xué)上是拉普拉斯方程的邊值問題，由于求解比較困難，可作相應(yīng)的靜電場或穩(wěn)恒電流場實驗研究，測定場中各處的電勢，從而也解決了所研究的穩(wěn)定溫度場中的溫度分布問題。

隨著物理科學(xué)所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛。從數(shù)學(xué)自身的角度看，偏微分方程的求解促使數(shù)學(xué)在函數(shù)論、變分法、級數(shù)展開、常微分方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進(jìn)行發(fā)展。從這個角度說，偏微分方程變成了數(shù)學(xué)的中心。