華氏定理（1940年華羅庚提出的數(shù)學定理）

介紹

華氏定理（1940）命 q是一個正整數(shù)，

華氏定理

即所謂高斯和:

并得到估計

高斯引進并研究高斯和的目的在于給出初等數(shù)論中非常重要的二次互反律一個證明。以后，不少數(shù)學家企圖推廣高斯和及他的估計，但他們只能對特殊的多項式所對應(yīng)的

華氏定理是臻于至善的，即誤差主階

華氏定理的直接應(yīng)用是，可以處理比希爾伯特一華林定理更為廣泛的問題：

命 N為一個正整數(shù)，

考慮不定方程

(1)

的求解問題，特別取

(2)

1770年，華林提出猜想：當

華氏不等式

華氏不等式(1938)命 N 為一個正整數(shù)， f(x)為一個 k次整系數(shù)多項式，則

華氏定理

華氏不等式的直接應(yīng)用為不定方程（1），由圓法來處理方程（1），則首先需將方程（1）的解數(shù)表示成

(0,1),

(0,1)

基于華羅庚關(guān)于解析數(shù)論的基本方法，即關(guān)于指數(shù)和估計的華氏定理與華氏不等式，再加上依· 維諾格拉朵夫的韋爾（H. Weyl）和估計與關(guān)于素數(shù)變數(shù)的指數(shù)和估計，華羅庚系統(tǒng)地研究了不定方程及其他堆壘問題的求解問題，并限制變數(shù)

人物介紹

華羅庚，中國現(xiàn)代數(shù)學家。1910年11月12日生于江蘇省金壇縣。華羅庚1924年金壇中學初中畢業(yè)之后，在上海中華職業(yè)學校學習不到一年，因家貧輟學，但他刻苦自修數(shù)學，1930年在《科學》上發(fā)表了關(guān)于代數(shù)方程式解法的文章，被邀到清華大學工作，開始了數(shù)論的研究。

1934年成為中華教育文化基金會研究員。1936年作為訪問學者去英國劍橋大學工作。1938年回國，受聘為西南聯(lián)合大學教授。1946年赴美國，任普林斯頓數(shù)學研究所研究員、普林斯頓大學，1948年始，他為伊利諾伊大學教授。1950年回國。

歷任清華大學教授，中國科學院數(shù)學研究所、應(yīng)用數(shù)學研究所所長、名譽所長，中國數(shù)學學會理事長、名譽理事長，全國數(shù)學競賽委員會主任，美國國家科學院國外院士，第三世界科學院院士，聯(lián)邦德國巴伐利亞科學院院士，中國科學院物理學數(shù)學化學部副主任、副院長、主席團成員，中國科學技術(shù)大學數(shù)學系主任、副校長，中國科協(xié)副主席，國務(wù)院學位委員會委員等職。

曾任一至六屆全國人大常務(wù)委員，六屆全國政協(xié)副主席。曾被授予法國南錫大學、香港中文大學和美國伊利諾斯大學榮譽博士學位。

主要從事解析數(shù)論、矩陣幾何學、典型群、自守函數(shù)論、多復(fù)變函數(shù)論、偏微分方程、高維數(shù)值積分等領(lǐng)域的研究與教授工作并取得突出成就。

40年代，解決了高斯完整三角和的估計這一歷史難題，得到了最佳誤差階估計（此結(jié)果在數(shù)論中有著廣泛的應(yīng)用）；對G.H.哈代與J.E.李特爾伍德關(guān)于華林問題及E.賴特關(guān)于塔里問題的結(jié)果作了重大的改進，至今仍是最佳紀錄。

在代數(shù)方面，證明了歷史長久遺留的一維射影幾何的基本定理；給出了體的正規(guī)子體一定包含在它的中心之中這個結(jié)果的一個簡單而直接的證明，被稱為嘉當-布饒爾-華定理。

其專著《堆壘素數(shù)論》系統(tǒng)地總結(jié)、發(fā)展與改進了哈代與李特爾伍德圓法、維諾格拉多夫三角和估計方法及他本人的方法，發(fā)表40余年來其主要結(jié)果仍居世界領(lǐng)先地位，先后被譯為俄、匈、日、德、英文出版，成為20世紀經(jīng)典數(shù)論著作之一。

其專著《多個復(fù)變典型域上的調(diào)和分析》以精密的分析和矩陣技巧，結(jié)合群表示論，具體給出了典型域的完整正交系，從而給出了柯西與泊松核的表達式，獲中國自然科學獎一等獎。

倡導(dǎo)應(yīng)用數(shù)學與計算機的研制，曾出版《統(tǒng)籌方法平話》、《優(yōu)選學》等多部著作并親自在中國推廣應(yīng)用。與王元教授合作在近代數(shù)論方法應(yīng)用研究方面獲重要成果，被稱為“華-王方法”。在發(fā)展數(shù)學教育和科學普及方面做出了重要貢獻。發(fā)表研究論文200多篇，并有專著和科普性著。

1985年6月12日，華羅庚應(yīng)邀到日本東京大學作學術(shù)報告。他先中文，后改用英語演講。日本學者被他精彩的演說深深吸引，原定45分鐘的報告在經(jīng)久不息的掌聲中被延長到一個多小時。當他滿頭大汗結(jié)束講話時，突然心臟病發(fā)作倒在講臺上。他用行動實踐了自己的諾言：“最大的希望就是工作到生命的最后一刻?！?/p>

華氏不等式

1936年華羅庚到劍橋大學進修了兩年，他師從哈代，積極參加劍橋大學數(shù)論小組的學術(shù)討論班活動，迅速進入到該領(lǐng)域前沿。華羅庚潛心研究數(shù)論的重要問題，解決了華林（Waring）問題，他利（Tarry）問題等數(shù)學難題，其杰出才華在劍橋沃土上顯露出來，在國際數(shù)學界引人注目。

華羅庚抓緊這兩年的時間，學習非?？炭嗯?，寫了十八篇關(guān)于“華林問題”、“他利問題”，“奇數(shù)的哥德巴赫問題”的論文，先后發(fā)表在英、蘇、印度、法、德等國的雜志上。他的工作成績得到了大家的認可與贊許。其中他的最有名的一篇論文“論高斯的完整三角和估計問題”，代表了他的工作在這個領(lǐng)域的有著長期與重要的影響。

蘇聯(lián)數(shù)學家維諾格拉朵夫（1891-1983），從1934年至1983年一直擔任蘇聯(lián)科學院斯捷克洛夫數(shù)學研究所的所長。他對韋爾和的估計方法及以素數(shù)為變數(shù)的指數(shù)和估計方法自30年代以來，對數(shù)論發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。他在堆壘數(shù)論方面得到不少深刻的結(jié)果，尤其是他對奇數(shù)的哥德巴赫猜想的基本解決及關(guān)于華林問題的結(jié)論是最為有名。

維諾格拉朵夫的主要成就是發(fā)表在30年代，這也是華羅庚進入數(shù)論研究的高峰時期。他認真學習了維諾格拉朵夫的方法，雖然華羅庚是自學維諾格拉朵夫方法的。但他對這個方法的了解和貢獻卻不在旁人之下。維諾格拉朵夫在他的書《數(shù)論中的三角和方法》的序言中，提到這個方法是我與柯坡爾特、朱達柯夫、華羅庚及其他人一起合作得出的。

華羅庚最重要的數(shù)論工作當然還是他自己獨創(chuàng)性的工作。