伽羅瓦群（與域擴(kuò)張相伴的代數(shù)結(jié)構(gòu)）

概述

伽羅瓦群是伽羅瓦理論的一個(gè)重要概念。設(shè)K是域F的伽羅瓦擴(kuò)域，K的F自同構(gòu)群G(K/F)稱(chēng)為K/F的伽羅瓦群。當(dāng)K為F可分閉包時(shí)，G(K/F)稱(chēng)為F的絕對(duì)伽羅瓦群。若K是F的一個(gè)有限次伽羅瓦擴(kuò)域，則G(K/F)是一個(gè)[K∶F]階群。由于有限次伽羅瓦擴(kuò)域等同于某一可分多項(xiàng)式的分裂域，因此，若域K是域F上一個(gè)可分多項(xiàng)式f(x)的分裂域，則其伽羅瓦群G(K/F)就稱(chēng)為f(x)的伽羅瓦群，從而有限次伽羅瓦擴(kuò)域的伽羅瓦群必為某一多項(xiàng)式的伽羅瓦群。在歷史上，是伽羅瓦(Galois，E.)首先對(duì)多項(xiàng)式引入伽羅瓦群的概念.

數(shù)學(xué)中，伽羅瓦群（GroupedeGalois）是與某個(gè)類(lèi)型地域擴(kuò)張相伴的群。

定義

假設(shè)E是域F的一個(gè)擴(kuò)張（寫(xiě)成E/F，讀做E在F上，英語(yǔ)：EoverF）?？紤]所有E/F的自同構(gòu)集合（即同構(gòu)α從E到自身使得α(x)=x對(duì)所有x屬于F）。這個(gè)自同構(gòu)集合與函數(shù)復(fù)合一起組成一個(gè)群，有時(shí)記做Aut(E/F)。

如果E/F是一個(gè)伽羅瓦擴(kuò)張，則Aut(E/F)稱(chēng)為（擴(kuò)張）E在F上的伽羅瓦群，通常記做Gal(E/F)。

群

群是一種只有一個(gè)運(yùn)算的、比較簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來(lái)建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。

設(shè)G為一個(gè)非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對(duì)G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱(chēng)為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱(chēng)為“乘積”)滿(mǎn)足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結(jié)合律，即(a·b)c=a·(b·c);

(3)對(duì)G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x=b，y·a=b，則稱(chēng)G對(duì)于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個(gè)群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個(gè)群;時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個(gè)群。

滿(mǎn)足交換率的群，稱(chēng)為交換群。

群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對(duì)稱(chēng)，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來(lái)定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類(lèi)。可以說(shuō)，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

1770年，拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時(shí)，首先引入群的概念，而它的名稱(chēng)，是伽羅華在1830年首先提出的。

伽羅瓦理論

設(shè)K是一個(gè)域，設(shè)Aut(K)是K的所有自同構(gòu)做成的集合，在映射復(fù)合之下Aut(K)做成一個(gè)群，稱(chēng)為K的全體自同構(gòu)群。設(shè)F是K的子域，令G(K/F)={σ∈Aut(K)|σ(a)=a，a∈F}，它是Aut(K)的子群，稱(chēng)為K的F-自同構(gòu)群。設(shè)G是Aut(K)的一個(gè)子群，令K={a∈K|σ(a)=a，σ∈G}，它是K的一個(gè)子域，稱(chēng)為群G的固定域。G(K/F)也記作GK(F)。設(shè)K/F是一個(gè)代數(shù)擴(kuò)張，下面3個(gè)條件等價(jià)：(1)K是F的可分正規(guī)擴(kuò)域。(2)F=KK(F)。(3)存在GK(F)的子群G，使得F=KG。滿(mǎn)足這些條件的F的擴(kuò)域K稱(chēng)為F的一個(gè)伽羅瓦擴(kuò)域，K/F稱(chēng)為伽羅瓦擴(kuò)張，GK(F)=G(K/F)稱(chēng)為K/F的伽羅瓦解。K是F上的有限次伽羅瓦擴(kuò)域當(dāng)且僅當(dāng)K是F上一切可分的不可約多項(xiàng)式乘積的分裂域。設(shè)E是伽羅瓦擴(kuò)張K/F的中間域，則K/E也是伽羅瓦擴(kuò)張。設(shè)K/F是有限次伽羅瓦擴(kuò)張，G=G(K/F)是K/F的伽羅瓦群，對(duì)于G的子群H，令E=K是K的固定域，則H?K給出了G的所有子群與K/F的所有中間域之間的一一對(duì)應(yīng)。這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為伽羅瓦理論的基本定理。設(shè)K/F是一個(gè)域擴(kuò)張，如果存在K/F的一串中間域F=F0，F(xiàn)1，…，F(xiàn)r=K：使得K，F(xiàn)i=Fi-1(ai)，aii∈Fi-1，i=1，…，r，其中ni是一個(gè)不能被CharF整除的正整數(shù)。設(shè)F是一個(gè)域，f(x)∈f[x]，方程f(x)=0稱(chēng)為在F上可以用根號(hào)解，如果存在F的一個(gè)根號(hào)擴(kuò)域，使得f(x)的全部根都在K中。設(shè)K是一個(gè)域，t1，…，tn是K上的無(wú)關(guān)未定元，令F=K(t1，…，tn)是K上t1，…，tn的有理分式域，多項(xiàng)式f(x)=x-t1x+t2x-…+(-1)tn∈F[x]稱(chēng)為K上n次一般方程，設(shè)K是一個(gè)特征為0的域，則K上n次一般方程在F=K(t1，…，tn)上可以用根號(hào)解當(dāng)且僅當(dāng)n≤4。利用伽羅瓦理論基本定理還可以證明x-4x+2=0等方程在有理數(shù)域上不能用根號(hào)解。

伽羅瓦擴(kuò)張

伽羅瓦理論的一個(gè)基本的代數(shù)擴(kuò)張。伽羅瓦擴(kuò)張是指域的可分正規(guī)擴(kuò)張。若K為域F的代數(shù)擴(kuò)張，則此域擴(kuò)張為伽羅瓦擴(kuò)張的充分必要條件為K的F自同構(gòu)群G(K/F)的固定域K恰為F；有限次伽羅瓦擴(kuò)域等同于一個(gè)可分多項(xiàng)式的分裂域。

人物簡(jiǎn)介

伽羅瓦是法國(guó)數(shù)學(xué)家。生于巴黎郊區(qū)布拉倫(Bourg-la-Reine)，卒于巴黎。幼時(shí)受到良好的家庭教育.12歲入中學(xué)，在數(shù)學(xué)教師理查德(Richard1795—1849)指導(dǎo)下研究代數(shù)方程可解條件問(wèn)題，17歲(1828年)高中未畢業(yè)便寫(xiě)出了關(guān)于循環(huán)連分?jǐn)?shù)及五次方程代數(shù)解法的論文。18歲(1829年)中學(xué)畢業(yè)，同年進(jìn)入師范學(xué)校.他是法國(guó)資產(chǎn)階級(jí)革命的積極參加者，曾因此被開(kāi)除學(xué)籍并兩次入獄?；謴?fù)自由后不久，因政治和愛(ài)情的糾葛，在一次決斗中不幸身亡，年僅21歲。

伽羅瓦短暫的一生，為數(shù)學(xué)增添了全新的思想，如群、域概念發(fā)展成為了許多新的數(shù)學(xué)分支。特別是還發(fā)現(xiàn)了每個(gè)代數(shù)方程必有反映其特性的置換群存在，從而解決了多年不能解決的用根式解代數(shù)方程的可能性的判斷問(wèn)題，創(chuàng)立了“伽羅瓦理論”，并為群論的建立、發(fā)展和應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。也使他成為了19世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家之一。

1830年與1831年，伽羅瓦寫(xiě)出了兩篇關(guān)于方程論的重要論文，提交給了法國(guó)科學(xué)院，但因受權(quán)威壓制，未能發(fā)表。直到他死后14年，即1846年，法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維爾(Liouville，J.)才發(fā)現(xiàn)他的遺作的巨大意義，將他的遺稿匯集出版。1870年，法國(guó)數(shù)學(xué)家若爾當(dāng)(Jordan，M.E.C.)還根據(jù)伽羅瓦的思想寫(xiě)出了《置換與代數(shù)方程》一書(shū)。