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反函數(shù)
適用于解析幾何學(xué)等的函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個(gè)函數(shù)g(y)在每一處g(y)都等于x，這樣的函數(shù)x= g(y)(y∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)，記作y=f﹣1(x) 。反函數(shù)y=f ﹣1(x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函數(shù)就是對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)。
一般地，如果x與y關(guān)于某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f（x）相對(duì)應(yīng)，y=f（x），則y=f（x）的反函數(shù)為x=f(y)或者y=f﹣1（x）。存在反函數(shù)(默認(rèn)為單值函數(shù)）的條件是原函數(shù)必須是一一對(duì)應(yīng)的（不一定是整個(gè)數(shù)域內(nèi)的）。注意：上標(biāo)"?1"指的并不是冪。
基本信息
| 中文名 | 反函數(shù) |
| 外文名 | Inverse Function |
| 表達(dá)式 | y=f﹣1(x) |
| 應(yīng)用學(xué)科 | 數(shù)學(xué) |
| 適用領(lǐng)域 | 解析幾何學(xué) |
| 特點(diǎn) | 可逆性 |
收起
定義
設(shè)函數(shù)
的定義域是D，值域是f(D)。如果對(duì)于值域f(D)中的每一個(gè)y，在D中有且只有一個(gè)x使得
，則按此對(duì)應(yīng)法則得到了一個(gè)定義在f(D)上的函數(shù)，并把該函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù)，記為
由該定義可以很快得出函數(shù)f的定義域D和值域f(D)恰好就是反函數(shù)
的值域和定義域，并且的反函數(shù)就是f，也就是說，函數(shù)f和互為反函數(shù)，即：
例如，函數(shù)
的反函數(shù)是
。
相對(duì)于反函數(shù)
來說，原來的函數(shù)稱為直接函數(shù)。反函數(shù)和直接函數(shù)的圖像關(guān)于直線
對(duì)稱。這是因?yàn)椋绻O(shè)(a,b)是的圖像上任意一點(diǎn)，即
。根據(jù)反函數(shù)的定義，有
，即點(diǎn)(b,a)在反函數(shù)的圖像上。而點(diǎn)(a,b)和(b,a)關(guān)于直線對(duì)稱，由(a,b)的任意性可知f和關(guān)于對(duì)稱。
于是我們可以知道，如果兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，那么這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)。這也可以看做是反函數(shù)的一個(gè)幾何定義。
若一函數(shù)有反函數(shù)，此函數(shù)便稱為可逆的（invertible）。
存在性
反函數(shù)存在定理
定理：嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必定有嚴(yán)格單調(diào)的反函數(shù)，并且二者單調(diào)性相同。
在證明這個(gè)定理之前先介紹函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性。
設(shè)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閒(D)。如果對(duì)D中任意兩點(diǎn)
和
，當(dāng) 
時(shí)，有 
，則稱在D上嚴(yán)格單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有
，則稱在D上嚴(yán)格單調(diào)遞減。
證明：設(shè)f在D上嚴(yán)格單增，對(duì)任一
，有
而由于f的嚴(yán)格單增性，對(duì)D中任一
；任一
總之能使的x只有一個(gè)，根據(jù)反函數(shù)的定義，f存在反函數(shù)。
任取f(D)中的兩點(diǎn)
和
，設(shè)<。而因?yàn)閒存在反函數(shù)，所以有 
， 
，且 
。
若此時(shí) 
，根據(jù)f的嚴(yán)格單增性，有
，這和我們假設(shè)的
矛盾。
因此 ，即當(dāng)
時(shí)，有
。這就證明了反函數(shù)f也是嚴(yán)格單增的。
如果f在D上嚴(yán)格單減，證明類似。
性質(zhì)
（1）函數(shù)f(x)與它的反函數(shù)
圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
（3）一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；
（4）大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（當(dāng)函數(shù)，定義域是{0} 且
（其中C是常數(shù)），則函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且有反函數(shù)，其反函數(shù)的定義域是{C}，值域?yàn)?#123;0} ）。奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)，被與y軸垂直的直線截時(shí)能過2個(gè)及以上點(diǎn)即沒有反函數(shù)。若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。
（5）一段連續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)具有一致性；
（6）嚴(yán)增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)；
（7）反函數(shù)是相互的且具有唯一性；
（8）定義域、值域相反對(duì)應(yīng)法則互逆（三反）；
（9）反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系：如果
在開區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)，可導(dǎo)，且
那么它的反函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)也可導(dǎo)，且：
反函數(shù)的符號(hào)
反函數(shù)的反函數(shù)
為了好看以及對(duì)比，我有時(shí)會(huì)把f(x)寫成f對(duì)比，我把我想各位應(yīng)該很好理解，反函數(shù)的反函數(shù)當(dāng)然就是原函數(shù)，寫成數(shù)學(xué)語言就是
?？纯?，這是不是有點(diǎn)像指數(shù)的運(yùn)算法則：
呢？
反函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
如果函數(shù)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且
不等于零，則它的反函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)也可導(dǎo)，且
或。
用自然語言來說就是，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。這話有點(diǎn)繞，不過應(yīng)該能讀懂，這個(gè)似乎就進(jìn)一步揭示了反函數(shù)符號(hào)的意義。
在這里要說明的是，的反函數(shù)應(yīng)該是
。只不過在通常的情況下，我們將x寫作y，y寫作x，以符合習(xí)慣。所以，雖然反函數(shù)和直接函數(shù)不互為倒數(shù)，但是各自導(dǎo)函數(shù)求出后，二者卻是互為倒數(shù)。
反函數(shù)的復(fù)合函數(shù)
這個(gè)內(nèi)容屬于高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容了。大伙想想函數(shù)里面最簡單最基本的函數(shù)是什么函數(shù)？不用說，肯定就是我們的恒等函數(shù)，這就和我們數(shù)字里面的1一般地位，所以，我們記恒等函數(shù)為“
”。
數(shù)字的基本運(yùn)算就是加減乘除，而函數(shù)也有運(yùn)算，雖然也有加減乘除，但是屬于函數(shù)自己的，就是復(fù)合與反函數(shù)。我們知道在實(shí)數(shù)里，x與的乘積等于1，在函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算里，也有類似的性質(zhì)，函數(shù)f和g的復(fù)合記為
，那么下面的性質(zhì)成立：
。
這第一個(gè)式子已經(jīng)說明很多問題。實(shí)際上，這些都是屬于高等代數(shù)的內(nèi)容，在每一個(gè)封閉的系統(tǒng)里，都有一個(gè)“單位1”，都有自己的運(yùn)算法則，函數(shù)里的就是，實(shí)數(shù)里的就是數(shù)字1等等。要深刻理解這些，也只有大家接觸群論以后才會(huì)深入理解。這里也只是做點(diǎn)皮毛而已。我將在后面另起一文，介紹函數(shù)的“冪”的概念，就如同數(shù)的冪一樣。
說明
（1）在函數(shù) 中，y是自變量，x是函數(shù)，但習(xí)慣上，我們一般用x表示自變量，用y 表示函數(shù)，為此我們常常對(duì)調(diào)函數(shù)中的字母x,y，把它改寫成，今后凡無特別說明，函數(shù)的反函數(shù)都采用這種經(jīng)過改寫的形式。
⑵反函數(shù)也是函數(shù)，因?yàn)樗虾瘮?shù)的定義. 從反函數(shù)的定義可知，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)來說，不一定有反函數(shù)，若函數(shù)有反函數(shù)，那么函數(shù)的反函數(shù)就是，這就是說，函數(shù)與 互為反函數(shù)。
⑶互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在各自定義域內(nèi)有相同的單調(diào)性。單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)，如二次函數(shù)在R內(nèi)不是反函數(shù)，但在其單調(diào)增（減）的定義域內(nèi)，可以求反函數(shù)；另外，反比例函數(shù)等函數(shù)不單調(diào)，也可求反函數(shù)。
⑷ 從映射的定義可知，函數(shù)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數(shù)
是集合C到集合A的映射，因此，函數(shù)的定義域正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域正好是它的反函數(shù)的定義域（如下表）：
函數(shù)：；
反函數(shù)：；
定義域： A，C；
值域： C，A；
⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為：
若確定函數(shù)的映射f是函數(shù)的定義域到值域上的“一一映射”，那么由f的“逆”映射所確定的函數(shù)(就叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù). 反函數(shù)的定義域、值域分別對(duì)應(yīng)原函數(shù)的值域、定義域.。開始的兩個(gè)例子：
則它的反函數(shù)就可以寫為
，同樣
記為
，則它的反函數(shù)為：
.
有時(shí)是反函數(shù)需要進(jìn)行分類討論，如：
，需將x進(jìn)行分類討論：在x大于0時(shí)的情況，x小于0的情況，多是要注意的。
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