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超球面（普通球面在任意維度的推廣）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-17

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超球面

普通球面在任意維度的推廣

超球面，也稱(chēng)n維球面，是普通的球面在任意維度的推廣。它是(n + 1)維空間內(nèi)的n維流形。特別地，0維球面就是直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)，1維球面是平面上的圓，2維球面是三維空間內(nèi)的普通球面。高于2維的球面有時(shí)稱(chēng)為超球面。

基本信息

中文名	超球面
別稱(chēng)	n維球面
領(lǐng)域	數(shù)理科學(xué)
外文名	Hypersphere
別名	n維球面
定義	高于2維的球面

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超球面介紹

1.定義

高于2維的球面稱(chēng)為超球面。中心位于原點(diǎn)且半徑為單位長(zhǎng)度的

維球面稱(chēng)為單位 n維球面，記為

。用符號(hào)來(lái)表示，就是：

超球面是 n維球體（

）的表面或邊界，是

維流形的一種。

對(duì)于任何自然數(shù)

，半徑為

的

維球面定義為

維歐幾里得空間中到某個(gè)定點(diǎn)的距離等于常數(shù)

的所有點(diǎn)的集合，其中

可以是任何正的實(shí)數(shù)。它是

維空間內(nèi)的

維流形。特別地：

1) 0維球面是直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)

；

2) 1維球面是平面上的圓；

3) 2維球面是三維空間內(nèi)的普通球面；

4)3維球面是四維空間內(nèi)的球面。

維空間中的歐幾里得坐標(biāo)

維空間中的點(diǎn)：

定義了一個(gè)

維球面

，由以下方程表示：

其中

是中心點(diǎn)，

是半徑。

以上的

維球面在

維空間中存在，是

維流形的一個(gè)例子。半徑為

的維球面的體積形式

由下式給出：

其中*是霍奇星算子。因此，

。

3.超球體

由

維球面所包圍的體積，稱(chēng)為

維球體。如果把球體的表面包括在內(nèi)，則

維球體是封閉的，否則是開(kāi)放的。

特別地：

1) 1維球體，是一個(gè)線(xiàn)段，是0維球面的內(nèi)部。

2) 2維球體，是一個(gè)圓盤(pán)，是圓（1維球面）的內(nèi)部。

3) 3維球體，是一個(gè)普通的球體，是球面（2維球面）的內(nèi)部。

4) 4維球體，是3維球面的內(nèi)部。

超球體體積

維球面所包圍的體積（

維球體的體積）由以下公式給出：

其中

是伽瑪函數(shù)。對(duì)于偶數(shù)

，

；對(duì)于奇數(shù)

，

，其中

表示雙階乘。

由此可以推出，對(duì)于給定的

，常數(shù)

的值為：

（對(duì)于偶數(shù)

），

（對(duì)于奇數(shù)

）。

這個(gè)

維球面的表面積是：

n維球面的表面積和體積之間有以下的關(guān)系：

從此可以推導(dǎo)出遞推關(guān)系：

這些公式也可以直接從 n維球坐標(biāo)系中的積分推出。

例子

對(duì)于較小的

，半徑為

維球體的的體積

為如下：

但當(dāng)

趨于無(wú)窮大時(shí)，

趨于0。

如果維度

不限于整數(shù)，那么

維球面的體積就是

的連續(xù)函數(shù)，它的極大值位于

，體積為

。當(dāng)

或

時(shí)，體積為1。

單位

維球面的外切超正方體的邊長(zhǎng)為2，因此體積為2；當(dāng)維度增加時(shí)，

維球面的體積與外切于它的超正方體的體積之比單調(diào)減少。

超球坐標(biāo)系

可以定義

維空間內(nèi)的坐標(biāo)系統(tǒng)，與3維空間內(nèi)的球坐標(biāo)系類(lèi)似，由徑向坐標(biāo)

和

個(gè)角度坐標(biāo)

組成。如果

是笛卡兒坐標(biāo)系，那么我們可以定義：

從中可以推出逆變換的公式：

注意最后一個(gè)角

的值域為

，而其它角的值域?yàn)?/span>

。這個(gè)值域覆蓋了整個(gè)球面。

維空間內(nèi)的體積元素可以從變換的雅可比行列式得出：

以上n維球體的體積方程可以通過(guò)積分來(lái)重新得出：

維球面的體積元素是2維球面的面積元素的推廣，由以下公式給出：

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