積范疇(product category)是范疇論的基本概念之一。指由一些范疇組成的新范疇。

概念

設(shè)

為一個范疇集合，由它們可作出一個新范疇

。即，記

為

的對象，其中

，規(guī)定其態(tài)射集為：

(右端的∏表集合的直積，即“笛卡兒積”)，規(guī)定其態(tài)射合成為各分量中態(tài)射的合成，即：

這樣得到的范疇

稱為{C}的積范疇。其恒等態(tài)射為

范疇

范疇論的基本概念之一。稱C是一個范疇，是指C滿足下述六點：

1.C有一個對象類

(不要求它是一個集合，即不要求它滿足集合論的公理，只要求能判別出是不是它的對象)，常記為ObjC或簡記C。

2.對C的任兩對象A，B，有一個確定的集合(可為空集)Hom(A，B)，其元素稱為由A到B的態(tài)射，記為

或

。

3.對給定的

與

有惟一的

，稱為f與g的合成。

4.Hom(A，B)與Hom(C，D)有公共元是指

且

。

5.態(tài)射合成滿足結(jié)合律。

6.對C的任意對象A，Hom(A，A)至少有一個元素ε使對

恒有

，稱ε為A的恒等態(tài)射(ε為B的恒等態(tài)射)。

例如，以一切集合作對象，以集合映射作態(tài)射，則得集合范疇Set(簡稱集范疇)。以一切拓撲空間作對象，以連續(xù)映射作態(tài)射，則得拓撲空間范疇Top。以一切環(huán)為對象，以環(huán)同態(tài)作為態(tài)射得環(huán)范疇Ring。類似地，可得群范疇Group，阿貝爾群范疇AG，環(huán)R上的左R模范疇M等。以自然數(shù)為對象，

(表示a整除b)時定義Hom(a，b)有惟一元素φ，ab時定義

，也得到一個范疇。一般地，對每個擬序集都可仿此定義范疇。

范疇論

代數(shù)學(xué)的一個重要分支。數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域都有各自的研究對象。例如，集合論研究集合與映射；線性代數(shù)研究線性空間與線性映射；群論研究群與群同態(tài)；拓撲學(xué)研究拓撲空間與連續(xù)映射。在20世紀中期，數(shù)學(xué)家們認為有必要將各個領(lǐng)域中的研究對象各自合在一起成為一個整體，使之成為一種數(shù)學(xué)系統(tǒng)，這就是范疇思想。于是，所有的集合與映射組成集合范疇；所有的群與群同態(tài)組成群范疇。在各個范疇之間往往存在著內(nèi)在聯(lián)系與變換。例如，一個群模去其換位子群的商群(稱為交換化)得到一個交換群，從而交換化成為群范疇到交換群范疇的一個變換，且這個變換保持著群同態(tài)及其合成。事實上，這就是函子的思想。在域F上的線性空間范疇中，任一線性空間L必有惟一的對偶空間

，“*”可看成這個線性空間范疇到自身的一個變換。盡管當(dāng)L為有限維時L與L是同構(gòu)的(記這個同構(gòu)為

)，但這個同構(gòu)不是“自然”的。即，若L與L間有一個同構(gòu)

，“*”誘導(dǎo)出L到L的一個同構(gòu)為α，但對L中的元素x來說，

一般地并不等于

。這就引起“自然性”的研究。艾倫伯格(Eilenberg，S.)與麥克萊恩(MacLane，S.)于1945年發(fā)表的論文《自然等價的一般理論》為范疇論的建立作出了奠基性的工作。

在某種意義上來說，范疇論提煉了數(shù)學(xué)(甚至其他學(xué)科)各分支的共性，是比集合論更高一個層次的數(shù)學(xué)公共語言與工具。它使數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域的研究通過箭頭圖做了一致化與簡單化的處理，更加顯示其本質(zhì)上的東西，同時使許多數(shù)學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)通過圖的泛性質(zhì)得到了深刻的刻畫。戈德門特(Godement，R.)于1958年將范疇論應(yīng)用到拓撲學(xué)，埃雷斯曼(Ehresmann，C.)于1958年將范疇論應(yīng)用到微分幾何，格羅騰迪克(Grothendieck，A.)與迪厄多內(nèi)(Dieudonné，J.)于1960年將范疇論應(yīng)用到代數(shù)幾何?，F(xiàn)在，范疇論在上述學(xué)科及同調(diào)代數(shù)、代數(shù)K理論、模論、環(huán)論等學(xué)科中都得到了成功的應(yīng)用。應(yīng)用范疇論時，關(guān)鍵是先搞清研究問題以什么作對象，以什么作態(tài)射。研究不同范疇之間的關(guān)系時，關(guān)鍵在于找到適當(dāng)?shù)暮?。范疇論的核心是函子理論。艾倫伯格與麥克萊恩為了搞清某些同構(gòu)(等價)的“自然”變換之精確含義，于1945年引入范疇與函子的概念去定義自然變換?，F(xiàn)在，范疇論已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域(甚至已應(yīng)用到計算機科學(xué)等)，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。