哈密頓變換（哈密頓變換）

哈密頓

Hamilton，William Rowan

（1805～1865）英國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家1805年8月3日（一說(shuō)4日）生于愛(ài)爾蘭都柏林，1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文臺(tái)。1823年考入都柏林的三一學(xué)院，1827年聘任為三一學(xué)院的天文學(xué)教授，同時(shí)獲得了愛(ài)爾蘭皇家天文學(xué)家的稱(chēng)號(hào)。1827年定居在都柏林附近的敦辛克天文臺(tái)，從此潛心鉆研數(shù)理科學(xué)。1835年獲得爵位。1837年被選為愛(ài)爾蘭皇家科學(xué)院院長(zhǎng)。他還是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員、法國(guó)科學(xué)院院士和彼得堡科學(xué)院通訊院士。

哈密頓于1827年建立了光學(xué)的數(shù)學(xué)理論。后來(lái)又把這種理論移植到動(dòng)力學(xué)中去，提出哈密頓原理，把廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量作為典型變量來(lái)建立動(dòng)力學(xué)方程，推動(dòng)了變分法和微分方程理論的進(jìn)一步研究，并在現(xiàn)代理論物理中得到了廣泛的應(yīng)用。

哈密頓在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了“四元數(shù)”，并建立了四元數(shù)的運(yùn)算法則。四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)為向量代數(shù)和向量分析的建立奠定了基礎(chǔ)，而四元數(shù)系又構(gòu)成了以實(shí)數(shù)域?yàn)橄禂?shù)域的有限維可除代數(shù)。因此，四元數(shù)的產(chǎn)生對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展具有十分重要的意義。

哈密頓生平

哈密頓自幼喜歡算術(shù)，計(jì)算很快．1818年遇到美國(guó)“計(jì)算神童”Z．科耳本(Colburn)后對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了更深厚的興趣．1820年再相逢時(shí)，哈密頓已閱讀了I．牛頓(Newton)的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》(Mathematical principles of natural philosophy)，并對(duì)天文學(xué)有強(qiáng)烈愛(ài)好，常用自己的望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)天體；還開(kāi)始讀P．S．拉普拉斯(Laplace)著作《天體力學(xué)》(Mécanique cé1este)，1822年指出了此書(shū)中的一個(gè)錯(cuò)誤．同年開(kāi)始進(jìn)行科學(xué)研究工作，對(duì)曲線(xiàn)和曲面的性質(zhì)進(jìn)行了系列研究，并用于幾何光學(xué)．他的報(bào)告送交愛(ài)爾蘭科學(xué)院后，R．J．布林克萊(Brinkley)院士評(píng)論說(shuō)：“這位年輕人現(xiàn)在是這個(gè)年齡(17歲)的第一數(shù)學(xué)家?！?/p>

1823年7月7日，哈密頓以入學(xué)考試第一名的成績(jī)進(jìn)入著名的三一學(xué)院，得到正規(guī)的大學(xué)訓(xùn)練，后因成績(jī)優(yōu)異而多次獲得學(xué)院的古典文學(xué)和科學(xué)的最高榮譽(yù)獎(jiǎng)．他在1823到1824年間完成了多篇有關(guān)幾何學(xué)和光學(xué)的論文，其中在1924年12月送交愛(ài)爾蘭皇家科學(xué)院會(huì)議的有關(guān)焦散曲線(xiàn)(caustics)的論文，引起科學(xué)界的重視．

1827年6月10日，年僅22歲的哈密頓被任命為敦辛克天文臺(tái)的皇家天文研究員和三一學(xué)院的天文學(xué)教

哈密頓

哈密頓有兄弟姐妹八人，家庭負(fù)擔(dān)很重；為減輕父親經(jīng)濟(jì)壓力，他畢業(yè)后帶著三個(gè)妹妹住到敦辛克天文臺(tái)．哈密頓不擅長(zhǎng)天文觀測(cè)，在天文臺(tái)工作的五年中，仍主要從事理論研究；但因與外界很少聯(lián)系，工作成果并未引起重視。

1832年，哈密頓成為愛(ài)爾蘭皇家科學(xué)院院士后非?；钴S，與學(xué)術(shù)界人士廣泛交流討論，包括一些詩(shī)人和哲學(xué)家．他從S．T．科勒里奇(Coleridge)的作品中了解到I．康德(Kant)的哲學(xué)，熱情地讀完康德主要著作《純理性批判》(Kritik der Reinen Vernunft)．康德哲學(xué)觀點(diǎn)對(duì)哈密頓后期的工作有很大影響。

1834年，哈密頓發(fā)表了歷史性論文“一種動(dòng)力學(xué)的普遍方法”(On a general method in dynamics)，成為動(dòng)力學(xué)發(fā)展過(guò)程中的新里程碑．文中的觀點(diǎn)主要是從光學(xué)研究中抽象出來(lái)的。

在對(duì)復(fù)數(shù)長(zhǎng)期研究的基礎(chǔ)上，哈密頓在1843年正式提出了四元數(shù)(quaternion)，這是代數(shù)學(xué)中一項(xiàng)重要成果。

由于哈密頓的學(xué)術(shù)成就和聲望，1835年在都柏林召開(kāi)的不列顛科學(xué)進(jìn)步協(xié)會(huì)上被選為主席，同年被授予爵士頭銜．1836年，皇家學(xué)會(huì)因他在光學(xué)上的成就而授予皇家獎(jiǎng)?wù)拢?837年，哈密頓被任命為愛(ài)爾蘭皇家科學(xué)院院長(zhǎng)，直到1845年．1863年，新成立的美國(guó)科學(xué)院任命哈密頓為14個(gè)國(guó)外院士之一。

哈密頓的成就

哈密頓工作勤奮，思想活躍．發(fā)表的論文一般都很簡(jiǎn)潔，別人不易讀懂，但手稿卻很詳細(xì)，因而很多成果都由后人整理而得．僅在三一學(xué)院圖書(shū)館中的哈密頓手稿，就有250本筆記及大量學(xué)術(shù)通信和未發(fā)表論文．愛(ài)爾蘭國(guó)家圖書(shū)館還有一部分手稿．

他的研究工作涉及不少領(lǐng)域，成果最大的是光學(xué)、力學(xué)和四元數(shù)．他研究的光學(xué)是幾何光學(xué)，具有數(shù)學(xué)性質(zhì)；力學(xué)則是列出動(dòng)力學(xué)方程及求解；因此哈密頓主要是數(shù)學(xué)家．但在科學(xué)史中影響最大的卻是他對(duì)力學(xué)的貢獻(xiàn)．哈密頓量是現(xiàn)代物理最重要的量，當(dāng)我們得到哈密頓量，就意味著得到了全部。

哈密頓原理

它指出，受理想約束的保守力學(xué)系統(tǒng)從時(shí)刻t1的某一位形轉(zhuǎn)移到時(shí)刻t2的另一位形的一切可能的運(yùn)動(dòng)中，實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)使系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)在該時(shí)間區(qū)間上的定積分取駐值，大多取極小值。由哈密頓原理可以導(dǎo)出拉格朗日方程。哈密頓原理不但數(shù)學(xué)形式緊湊，且適用范圍廣泛。如替換L的內(nèi)容，就可擴(kuò)充用于電動(dòng)力學(xué)和相對(duì)論力學(xué)。此外，也可通過(guò)變分的近似算法，用哈密頓原理直接求解力學(xué)問(wèn)題。

這涉及到變分法，就算你上了大學(xué)，不是數(shù)學(xué)系也很難學(xué)到的啊，上面的兩種符號(hào)都是變分算符，其中三角的那個(gè)是全變分，那個(gè)積分表示的是泛函，它的變分等于0，指的是泛函取得極值，其實(shí)變分就相當(dāng)于微分。但你要注意什么是泛函，它的自變量是一類(lèi)函數(shù)，而因變量是一個(gè)數(shù)值。它取極值時(shí)就對(duì)應(yīng)了一個(gè)使它取極值的函數(shù)，這就是它（哈密頓原理）為什么可以決定運(yùn)動(dòng)！說(shuō)它是力學(xué)最高原理是絕對(duì)沒(méi)錯(cuò)的，任何力學(xué)定律都可以由它導(dǎo)出，包括牛二定律！

哈密頓力學(xué)

哈密爾頓力學(xué)是哈密爾頓于1833年建立的經(jīng)典力學(xué)的重新表述。它由拉格朗日力學(xué)演變而來(lái)，那是經(jīng)典力學(xué)的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。但它可以使用辛空間不依賴(lài)于拉格朗日力學(xué)表述。關(guān)于這點(diǎn)請(qǐng)參看其數(shù)學(xué)表述。

適合用哈密頓力學(xué)表述的動(dòng)力系統(tǒng)稱(chēng)為哈密頓系統(tǒng)。

哈密頓系統(tǒng)可以理解為時(shí)間R上的一個(gè)纖維叢E,其纖維Et, t ∈ R是位置空間。拉格朗日量則是E上的jet叢(射流叢)J上的函數(shù)；取拉格朗日量的纖維內(nèi)的勒讓德變換就產(chǎn)生了一個(gè)時(shí)間上的對(duì)偶叢的函數(shù)，其在t的纖維是余切空間T*Et，它有一個(gè)自然的辛形式，而這個(gè)函數(shù)就是哈密頓量。

任何辛流形上的光滑實(shí)值函數(shù)H可以用來(lái)定義一個(gè)哈密頓系統(tǒng)。函數(shù)H稱(chēng)為哈密頓量或者能量函數(shù)。該辛流形則稱(chēng)為相空間。哈密頓量在辛流形上導(dǎo)出一個(gè)特殊的向量場(chǎng)，稱(chēng)為辛向量場(chǎng)。

該辛向量場(chǎng)，稱(chēng)為哈密頓向量場(chǎng)，導(dǎo)出一個(gè)流形上的哈密頓流。該向量場(chǎng)的一個(gè)積分曲線(xiàn)是一個(gè)流形的變換的單參數(shù)族；該曲線(xiàn)的參數(shù)通常稱(chēng)為時(shí)間。該時(shí)間的演變由辛同胚給出。根據(jù)劉維爾定理每個(gè)辛同胚保持相空間的體積形式不變。由哈密頓流到處的辛同胚的族通常稱(chēng)為哈密頓系統(tǒng)的哈密頓力學(xué)。

哈密頓向量場(chǎng)也導(dǎo)出一個(gè)特殊的操作，泊松括號(hào)。泊松括號(hào)作用于辛流形上的函數(shù)，給了流形上的函數(shù)空間一個(gè)李代數(shù)的結(jié)構(gòu)。

當(dāng)余度量是退化的時(shí)，它不是可逆的。在這個(gè)情況下，這不是一個(gè)黎曼流形，因?yàn)樗鼪](méi)有一個(gè)度量。但是，哈密頓量依然存在。這個(gè)情況下，在流形Q的每一點(diǎn)q余度量是退化的，因此余度量的階小于流行Q的維度，因而是一個(gè)亞黎曼流形。

這種情況下的哈密頓量稱(chēng)為亞黎曼哈密頓量。每個(gè)這樣的哈密頓量唯一的決定余度量，反過(guò)來(lái)也是一樣。這意味著每個(gè)亞黎曼流形由其亞黎曼哈密頓量唯一的決定，而其逆命題也為真：每個(gè)亞黎曼流形有唯一的亞黎曼哈密頓量。亞黎曼測(cè)地線(xiàn)的存在性由Chow-Rashevskii定理給出。

哈密爾頓系統(tǒng)可以幾種方式推廣。如果不僅簡(jiǎn)單的利用辛流形上的光滑函數(shù)的結(jié)合代數(shù)，哈密爾頓系統(tǒng)可以用更一般的交換酉實(shí)泊松代數(shù)表述。一個(gè)狀態(tài)是一個(gè)（裝備了恰當(dāng)?shù)耐負(fù)浣Y(jié)構(gòu)的）泊松代數(shù)上的連續(xù)線(xiàn)形泛函，使得對(duì)于代數(shù)中的每個(gè)元素A，A2映射到非負(fù)實(shí)數(shù)。

進(jìn)一步的推廣由Nambu動(dòng)力學(xué)給出。