下調(diào)和函數(shù)(subharmonic function)亦稱次調(diào)和函數(shù)，是亞調(diào)和函數(shù)的一個(gè)子類。若-f為上調(diào)和函數(shù)，則f稱為同一區(qū)域內(nèi)的下調(diào)和函數(shù)，此時(shí)，若φ(t)是t的單調(diào)增的凸函數(shù)，則φ°f為下調(diào)和函數(shù)。例如，當(dāng)u(x)為D?R上的復(fù)值解析函數(shù)，實(shí)數(shù)α>0時(shí)，|u(x)|與αlog|u(x)|都是下調(diào)和函數(shù)。

外文名

subharmonic function

所屬學(xué)科

數(shù)學(xué)

相關(guān)概念

上調(diào)和函數(shù)、亞調(diào)和函數(shù)等

定義

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

定義一：

設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，則對(duì)，可以定義一個(gè)連續(xù)函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

即函數(shù) 在 上連續(xù)，在球B外部及邊界 上等于，在球B內(nèi)是調(diào)和函數(shù)。

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

定義二：

設(shè) 在區(qū)域 上連續(xù)，如果對(duì)，有

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

則稱 為 上的上調(diào)和函數(shù)，簡(jiǎn)稱

上調(diào)和函數(shù)

；如果對(duì)，有

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

則稱 為 上的下調(diào)和函數(shù)，簡(jiǎn)稱

下調(diào)和函數(shù)

。

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

定義三：

設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，如果 上的上調(diào)和函數(shù) 均滿足

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

則稱 是 的一個(gè)

上函數(shù)

；如果 上的下調(diào)和函數(shù) 均滿足

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

則稱是的一個(gè)

下函數(shù)

。

相關(guān)性質(zhì)

性質(zhì)1

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)是調(diào)和函數(shù)，則 既是上調(diào)和函數(shù)也是下調(diào)和函數(shù)。

性質(zhì)2

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

設(shè) 是上（或下）調(diào)和函數(shù)，則 是下（或上）調(diào)和函數(shù)。

性質(zhì)3

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

設(shè) 與 都是上（或下）調(diào)和函數(shù)，則 也是上（或下）調(diào)和函數(shù)。

性質(zhì)4

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

設(shè) 為 上的上（或下）調(diào)和函數(shù)，則除 恒等于常數(shù)外，它只能在邊界 上取到最小值（或最大值）。

利用上調(diào)和函數(shù)與下調(diào)和函數(shù)的定義，容易證明性質(zhì)1到4。

性質(zhì)5

下調(diào)和函數(shù)

設(shè) 都是上調(diào)和函數(shù)，則函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

也是上調(diào)和函數(shù)。

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

證明：

由 易知， 。

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

另一方面，對(duì) ,由 定義可知，對(duì)，有

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

并對(duì)，有

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

故由，并根據(jù)極值原理可知，對(duì)有

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

綜上可知， ，且對(duì)，有

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

即 為 上的上調(diào)和函數(shù)。

性質(zhì)6

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

設(shè) 為 上的上調(diào)和函數(shù)，則 也是上調(diào)和函數(shù)。

性質(zhì)7

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

設(shè)函數(shù) 在 的邊界 上連續(xù)，則 的任意一個(gè)上函數(shù)都不小 任意一個(gè)下函數(shù)。

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

證明:

設(shè)是的任意一個(gè)上函數(shù)，是的任意一個(gè)下函數(shù)，則對(duì)，有

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

并由性質(zhì)2及性質(zhì)3可知，是上的上調(diào)和函數(shù)，故由性質(zhì)4可知，在上取最小值，即對(duì)，有

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

從而在內(nèi)，不小于。即對(duì)有

下調(diào)和函數(shù)

性質(zhì)8

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

設(shè) 都是 的上函數(shù)，則函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

也是的上函數(shù)。

性質(zhì)9

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

下調(diào)和函數(shù)

設(shè) 是 的上函數(shù)，則函數(shù) 也是 的上函數(shù)。