格林空間（數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)）

人物簡(jiǎn)介

格林（1793年7月14日-1841年5月31日），是一位成就巨大的英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。他在1828年撰寫的論文《數(shù)學(xué)分析在電力和磁學(xué)理論中的應(yīng)用》中介紹了幾個(gè)重要的概念，其中包括一個(gè)類似于現(xiàn)代格林定理的定理，物理學(xué)中目前使用的潛在函數(shù)的概念，以及現(xiàn)在稱之為格林函數(shù)的概念。

格林是創(chuàng)建電力和磁力數(shù)學(xué)理論的第一人，他的理論為詹姆斯?？死?。麥克斯韋、威廉。湯普森等其他科學(xué)家的工作奠定了基礎(chǔ)。他的潛在理論工作與卡爾·弗里德里?！じ咚梗–arl Friedrich Gauss）的工作平行。

格林的生活故事非常出色，他幾乎完全是自學(xué)的。他只在8歲到9歲之間接受了大約一年的正規(guī)教育。

定義

格林空間(Green space)是一類特殊的E空間。存在非常數(shù)的非負(fù)上調(diào)和函數(shù)的E空間稱為格林空間。R" (n≥ 3 )及其子區(qū)域都是格林空間，黎曼曲面是E空間但未必是格林空間；復(fù)球面與R2都不是格林空間。R2中的區(qū)域?yàn)楦窳挚臻g當(dāng)且僅當(dāng)其余集為正容量集。一般地，E空間月為格林空間當(dāng)且僅當(dāng)Ω上存在格林函數(shù)。在格林空間，掃除測(cè)度與極集都可通過(guò)掃除函數(shù)來(lái)明確刻畫。

解釋

E空間是一類豪斯多夫空間。所謂E空間，是指滿足如下條件的、連通的、可分的豪斯多夫空間Ω：Ω的每一點(diǎn)x有開(kāi)鄰域V與R-=R∪{∞}的一個(gè)開(kāi)子集同胚，并且任何兩個(gè)這樣的鄰域V與V的交V∩V在相應(yīng)的兩個(gè)同胚映射下是共形的(n=2)或保距的(n≥3，關(guān)于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)不變)。于是R-上的調(diào)和、超(亞)、上(下)調(diào)和等局部性概念可以在E空間上相應(yīng)地定義，局部的里斯分解定理也成立。為了推廣黎曼曲面，布雷洛(Brélot，M.E.)等人引入這種空間并建立了相應(yīng)的位勢(shì)論。沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的E空間在幾何學(xué)上稱為局部平坦的或局部歐氏的黎曼空間。

在拓?fù)鋵W(xué)和相關(guān)的數(shù)學(xué)分支中，豪斯多夫空間、分離空間或T2 空間是其中的點(diǎn)都“由鄰域分離”的拓?fù)淇臻g。在眾多可施加在拓?fù)淇臻g上的分離公理中，“豪斯多夫條件”是最常使用和討論的。它蘊(yùn)涵了序列、網(wǎng)和濾子的極限的唯一性。豪斯多夫得名于拓?fù)鋵W(xué)的創(chuàng)立者之一費(fèi)利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓?fù)淇臻g定義把豪斯多夫條件包括為公理。

假設(shè) X 是拓?fù)淇臻g。設(shè) x 和 y 是 X 中的點(diǎn)。我們稱 x 和 y 可以“由鄰域分離”，如果存在 x 的鄰域 U 和 y 的鄰域 V 使得 U 和 V 是不相交的 (U ∩ V = ?)。X 是豪斯多夫空間如果任何兩個(gè)X 的獨(dú)特的點(diǎn)可以由鄰域分離。這時(shí)的豪斯多夫空間也叫做 T2 空間和分離空間的原因。

X 是預(yù)正則空間，如果任何兩個(gè)拓?fù)淇蓞^(qū)分的點(diǎn)可以由鄰域分離。預(yù)正則空間也叫做 R1 空間。

在這些條件之間的聯(lián)系如下。拓?fù)淇臻g是豪斯多夫空間，當(dāng)且僅當(dāng)它是預(yù)正則空間和柯?tīng)柲宸蚩臻g的二者(就是說(shuō)獨(dú)特的點(diǎn)是拓?fù)淇蓞^(qū)分的)。拓?fù)淇臻g是預(yù)正則空間，當(dāng)且僅當(dāng)它的柯?tīng)柲宸蛏炭臻g是豪斯多夫空間。

調(diào)和函數(shù)是在某區(qū)域中滿足拉普拉斯方程的函數(shù)。通常對(duì)函數(shù)本身還附加一些光滑性條件，例如有連續(xù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。當(dāng)自變量為n個(gè)（從而區(qū)域是n維的）時(shí)，則稱它為n維調(diào)和函數(shù)。

對(duì)于高維的調(diào)和函數(shù)，也有與上述類似的最大、最小值原理，平均值公式以及相應(yīng)的狄利克雷問(wèn)題解的存在和惟一性定理。

在數(shù)學(xué)中，黎曼曲面是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼為了給多值解析函數(shù)設(shè)想一個(gè)單值的定義域 而提出的一種曲面。用現(xiàn)代的語(yǔ)言說(shuō)，黎曼曲面就是連通的一維復(fù)流形。黎曼曲面的研究不僅是單復(fù)變函數(shù)論的基本問(wèn)題之一，而且與眾多的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支有緊密聯(lián) 系，如多復(fù)變函數(shù)論、復(fù)流形、代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、自守函數(shù)等。

格林函數(shù)

在數(shù)學(xué)中，格林函數(shù)是一種用來(lái)解有初始條件或邊界條件的非齊次微分方程的函數(shù)。在物理學(xué)的多體理論中，格林函數(shù)常常指各種關(guān)聯(lián)函數(shù)，有時(shí)并不符合數(shù)學(xué)上的定義。

從物理上看，一個(gè)數(shù)學(xué)物理方程是表示一種特定的"場(chǎng)"和產(chǎn)生這種場(chǎng)的"源"之間的關(guān)系。例如，熱傳導(dǎo)方程表示溫度場(chǎng)和熱源之間的關(guān)系，泊松方程表示靜電場(chǎng)和電荷分布的關(guān)系，等等。這樣，當(dāng)源被分解成很多點(diǎn)源的疊加時(shí)，如果能設(shè)法知道點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng)，利用疊加原理，我們可以求出同樣邊界條件下任意源的場(chǎng)，這種求解數(shù)學(xué)物理方程的方法就叫格林函數(shù)法。而點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng)就叫做格林函數(shù)。