球面小圓(spherical small circle)簡(jiǎn)稱小圓，用不通過球心的平面去截球面，所截得的曲線是一個(gè)圓，稱為這個(gè)球面的小圓。球面小圓上的任一段弧稱為球面小圓弧，簡(jiǎn)稱小圓弧，球面上任意兩點(diǎn)間的球面小圓弧之長(zhǎng)不是這兩點(diǎn)間的球面距離。

外文名

spherical small circle

所屬問題

立體幾何（球面幾何）

所屬學(xué)科

數(shù)學(xué)

基本介紹

球面小圓是一條與球面有關(guān)的封閉曲線，指球面和不通過球心的平面的交線，如圖1中的⊙O?。球面小圓圓心與球心的連線，垂直于球的小圓面。在半徑為R的球面中，圓心距球心為d的球面小圓的半徑為

圖1

球面圓是球面幾何的基本概念之一，是球面在空間中與平面相交時(shí)的交線圓，包括平面通過球心時(shí)交成的球面大圓和平面不通過球心時(shí)與球面相交而成的

球面小圓

。垂直于球面圓所在平面的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)(對(duì)徑點(diǎn))稱為球面圓的球面中心，亦稱為球面圓的極。球面大圓的圓弧、優(yōu)弧、劣弧、余弧、共軛弧依次稱為球面大圓弧、大圓優(yōu)弧、大圓劣弧、余大圓弧、共軛大圓弧。當(dāng)提到連結(jié)球面上非對(duì)徑的兩點(diǎn)的大圓弧時(shí)，通常指大圓劣弧，此大圓弧的長(zhǎng)度稱為此兩點(diǎn)間的球面距離。因?yàn)榍蛎嫔戏菍?duì)徑的兩點(diǎn)與球心不共線而決定一個(gè)平面，這兩點(diǎn)就在由此平面與球面相交的惟一大圓上，所以上述球面距離的定義適用于球面上非對(duì)徑的任意兩點(diǎn)，至于球面的兩個(gè)對(duì)徑點(diǎn)，自然地以半大圓弧的長(zhǎng)度作為它們的球面距離，球面圓的球面中心與球面圓上的點(diǎn)的球面距離相等，即球面圓是球面上與一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定值的點(diǎn)的軌跡，此定點(diǎn)即球面圓的球面中心或極，這個(gè)定值稱為球面圓的球面半徑，亦稱為球面圓的角半徑、弧半徑或極距，球面大圓的球面半徑等于一象限弧，球面小圓與兩個(gè)球面中心(極)相應(yīng)有小于和大于一象限弧的兩個(gè)球面半徑，球面半徑小于一象限弧的極稱為近極，另一個(gè)稱為遠(yuǎn)極，由于球面小圓的球面中心通常是指離該圓所在平面的距離較近的那個(gè)近極，因此，球面小圓的球面半徑通常指小于一象限弧的那一個(gè)。在空間直角坐標(biāo)系中，球心為點(diǎn)(a，b，c)半徑為R的球面的方程是

例題解析

【例1】球面上有三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩個(gè)點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長(zhǎng)的

，經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為4π，那么這個(gè)球的半徑為( )。

A.

B.

C.2 D.3

分析

設(shè)該球球心為O，半徑為R，球面上三點(diǎn)為A，B，C，則依據(jù)題意知O-ABC是正三棱錐，側(cè)棱長(zhǎng)即為球的半徑R。

圖2

如圖2，由已知得，兩條側(cè)棱的夾角

，正三角形ABC外接圓半徑

。在三角形ABC中，由正弦定理得:

。故選B ? 。

【例2】如圖3，A,B,C是表面積為48π的球面上三點(diǎn)，

,

,

，O為球心，則直線OA與截面ABC所成的角是( )。

圖3