簡單的線性規(guī)劃（簡單的線性規(guī)劃）

內(nèi)容解析

線性規(guī)劃主要用于解決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題，它是一種重要的數(shù)學(xué)模型．

本節(jié)課為該單元的第3課時，主要內(nèi)容是線性規(guī)劃的相關(guān)概念和簡單的線性規(guī)劃問題的解法．重點是如何根據(jù)實際問題準確建立目標函數(shù)，并依據(jù)目標函數(shù)的幾何含義運用數(shù)形結(jié)合方法求出最優(yōu)解。

目標解析

1．了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等相關(guān)概念．

了解線性規(guī)劃模型的特征：一組決策變量表示一個方案；約束條件是一次不等式組；目標函數(shù)是線性的，求目標函數(shù)的最大值或最小值．熟悉線性約束條件（不等式組）的幾何表征是平面區(qū)域（可行域）．體會可行域與可行解、可行域與最優(yōu)解、可行解與最優(yōu)解的關(guān)系．

2．掌握實際優(yōu)化問題建立線性規(guī)劃模型并運用數(shù)形結(jié)合方法進行求解的基本思想和步驟．

會從實際優(yōu)化問題中抽象、識別出線性規(guī)劃模型．能理解目標函數(shù)的幾何表征（一族平行直線）．能依據(jù)目標函數(shù)的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合方法求出最優(yōu)解和線性目標函數(shù)的最大（?。┲?，其基本步驟為建、畫、移、求、答．

3．培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．

對模型中z的最小值的求解，通過對式子的變形，變?yōu)?，利用?shù)形結(jié)合思想，把看作斜率為的平行直線系在y軸上的截距．平移直線，使其與y軸的交點最高，觀察圖象直線經(jīng)過

診斷分析

線性規(guī)劃問題的難點表現(xiàn)在三個方面：一是將實際問題抽象為線性規(guī)劃模型；二是線性約束條件和線性目標函數(shù)的幾何表征；三是線性規(guī)劃最優(yōu)解的探求．其中第一個難點通過第1課時已基本克服；第二個難點線性約束條件的幾何意義也在第2課時基本解決，本節(jié)將繼續(xù)鞏固；第三個難點的解決必須在二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的基礎(chǔ)上，繼續(xù)利用數(shù)形結(jié)合的思想方法把目標函數(shù)直觀化、可視化，以圖解的形式解決之．

將決策變量x，y以有序?qū)崝?shù)對

l可行解（含最優(yōu)解）的幾何表征

l可行域（約束條件）的幾何表征

l 目標函數(shù)的幾何表征

行為分析

通過前兩課時，學(xué)生對于物資調(diào)運問題、產(chǎn)品安排問題、下料問題等已初步學(xué)會了如何分析實際應(yīng)用問題，能根據(jù)實際數(shù)據(jù)假設(shè)變量，從中抽象出二元一次不等式（組）作為約束條件；能聯(lián)想其幾何意義，用相應(yīng)的平面區(qū)域行表示它們．

在鞏固二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域的基礎(chǔ)上，使學(xué)生能從實際優(yōu)化問題中抽象出約束條件和目標函數(shù)；對于目標函數(shù)學(xué)生未必能一下子想到相應(yīng)的直線系，教學(xué)中，教師需引導(dǎo)學(xué)生把z看成常數(shù)，把

通過這種從點與數(shù)對的對應(yīng)，線與方程的對應(yīng)，到平面區(qū)域與不等式組的對應(yīng)的過渡和提升，使學(xué)生進一步理解數(shù)形結(jié)合思想方法的實質(zhì)及其重要性．

條件分析

考慮到學(xué)生的知識水平和消化能力，教師可借助計算機或圖形計算器，從激勵學(xué)生探究入手，講練結(jié)合，精準的直觀演示能使教學(xué)更富趣味性和生動性．

通過讓學(xué)生觀察、討論、辨析、畫圖，親身實踐，調(diào)動多感官去體驗數(shù)學(xué)建模、用模的思想，讓學(xué)生學(xué)會用“數(shù)形結(jié)合”思想方法建立起代數(shù)問題和幾何問題間的密切聯(lián)系．

過程設(shè)計

問題引入

引例：某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件，耗時1h；每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件，耗時2h．已知該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？

問題1：該廠生產(chǎn)什么？怎么生產(chǎn)？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生讀題，完成實際問題數(shù)學(xué)化的過程．承前一課時，使學(xué)生進一步熟練如何從實際問題中抽象出不等式組（約束條件）并用平面區(qū)域表示．

設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每日分別生產(chǎn)x，y件，生產(chǎn)甲產(chǎn)品需滿足；生產(chǎn)乙產(chǎn)品需滿足；生產(chǎn)時間需滿足，從而得出二元一次不等式組：

（1）

問題2：可能的日安排，什么意思？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生了解日生產(chǎn)方案的數(shù)學(xué)符號表示，不等式組（1）的整數(shù)解的實際意義，并順勢給出“可行解”、“可行域”概念．

教學(xué)中，可以結(jié)合幾何畫板，讓學(xué)生“讀出”可行解，即可行域中的18個整點：

（0，0），（0，1），（0，2），（0，3）；

（1，0），（1，1），（1，2），（1，3）；

（2，0），（2，1），（2，2），（2，3）；

（3，0），（3，1），（3，2）；

（4，0），（4，1），（4，2）．

對于邊界附近的點，如

問題3：若每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，如何安排生產(chǎn)利潤最大？

設(shè)計意圖：通過添加最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)入對新知識的探究，使學(xué)生體會知識生成的自然和線性規(guī)劃模型的價值．

問題的深入

利潤函數(shù)模型的建立．設(shè)生產(chǎn)利潤為z（萬元），則

這是一個二元函數(shù)，甲、乙兩種產(chǎn)品的數(shù)量共同影響生產(chǎn)利潤，不是學(xué)生熟悉的問題．

教學(xué)時，可引導(dǎo)學(xué)生分別求各種可能安排的利潤（列舉）：

0 0 0

0 1 3

… … …

4 1 11

4 2 14

觀察得到，當(dāng)

問題4：如何看待利潤函數(shù)的解析式

設(shè)計意圖：得出利潤函數(shù)

由利潤函數(shù)的解析式

由于

可追問以下問題：

當(dāng)直線

當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的哪個（些）點時，最大？

當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的哪個（些）點時，與y軸的交點最高？

故求z的最大值，可轉(zhuǎn)化為求的最大值，而是直線

從（一元）函數(shù)的觀點來看，z是以直線

由于y的系數(shù)為正，故z是直線的縱截距的增函數(shù)，即當(dāng)直線的縱截距最大（與y軸的交點最高）時，目標函數(shù)有最大值．（熟練之后，就不必化直線方程為斜截式了?。?/p>

問題5：怎樣求解線性規(guī)劃問題？

設(shè)計意圖：通過這個具體例子，讓學(xué)生梳理問題解決的思路，歸納最優(yōu)化問題的求解思路：

第1步：依題意，列出不等式組

第2步：畫出可行域（實際上也就找到了可行解）．

第3步：依題意，求出目標函數(shù)

第4步：作出目標函數(shù)所表示的某條直線（通常選作過原點的直線），平移此直線并觀察此直線經(jīng)過可行域的哪個（些）點時，函數(shù)有最大（?。┲担?/p>

第5步：求（寫）出最優(yōu)解和相應(yīng)的最大（?。┲担?/p>

由解得點M的坐標

當(dāng)

教師可作以下示范解答

解：設(shè)……，依題意，得不等式組：

作平面區(qū)域（如圖），

設(shè)……，依題意，得目標函數(shù)

作直線

由

因此，當(dāng)

線性規(guī)劃概念組

問題6：什么是線性規(guī)劃問題？

設(shè)計意圖：在學(xué)生已經(jīng)獲得感性認識的基礎(chǔ)上，給出線性規(guī)劃的相關(guān)概念．

在線性約束條件下，求線性目標函數(shù)的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題．線性規(guī)劃問題的模型由目標函數(shù)和可行域組成，其中可行域是可行解的集合，可行解是滿足約束條件的解．使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解．

結(jié)合本例，讓學(xué)生思考最優(yōu)解、可行解、可行域有怎樣的關(guān)系？

教師總結(jié)，最優(yōu)解一定是可行解，可行解的集合即可行域；最優(yōu)解一般位于可行域的邊界上．并進一步概括解線性規(guī)劃問題的步驟，可簡化為5個字：建、畫、移、求、答．

建：建立線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型（約束條件和目標函數(shù)）

畫：畫出線性約束條件所表示的可行域；

移：在線性目標函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線；

求：通過解方程組求出最優(yōu)解；

答：回答問題，寫出答案．

問題的變式

設(shè)計意圖：通過目標函數(shù)的不同變式，讓學(xué)生熟悉最優(yōu)解的求法，尤其是y的系數(shù)為負的情況．借助“幾何畫板”軟件集中呈現(xiàn)目標函數(shù)的圖形變化，能提高課堂效率，建立精準的數(shù)形聯(lián)系．

問題7：如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利2萬元，如何安排生產(chǎn)利潤最大？

目標函數(shù)為，直線與y軸的交點的橫坐標為．

作出直線，并平移，觀察知，當(dāng)直線經(jīng)過點

問題8：如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利4萬元，如何安排生產(chǎn)利潤最大？

目標函數(shù)為，直線與y軸的交點的橫坐標為．

作出直線，并平移，觀察知，當(dāng)直線經(jīng)過點

問題9：如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利1萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利4萬元，如何安排生產(chǎn)利潤最大？

目標函數(shù)為，直線與y軸的交點的橫坐標為．

作出直線，并平移，觀察知，當(dāng)直線經(jīng)過點

問題10：如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利3萬元，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品虧損2萬元，如何安排生產(chǎn)利潤最大？

讓學(xué)生先猜測；注意：z的最大值→直線

目標函數(shù)為，直線與y軸的交點的橫坐標為．

作出直線，并平移，觀察知，當(dāng)直線經(jīng)過點

猜測與實際運算結(jié)果相符嗎？問題出在哪？

教師可借助Exel針對對所有可行解，求出生產(chǎn)利潤．

0 0 0

0 1 -2

… … …

4 1 10

4 2 8

教學(xué)時，對于每一種變式，都需要學(xué)生首先明確：

（1）問題滿足的不等式組是什么？對應(yīng)怎樣的可行域？

（2）目標函數(shù)是什么？對應(yīng)怎樣的直線（系）？

（3）求目標函數(shù)的最大值，還是最小值？關(guān)注對應(yīng)的直線（系）與y軸的交點的最高點，還是最低點？