概念
形變收縮核(deformation retract)是一類特殊的收縮核。設X為拓撲空間，A X，若存在收縮映射r：X→A和包含映射i：A→X使得：
則稱A為X的形變收縮核，倫移H稱為X到A的形變收縮。設A為X的形變收縮核，H：X×I→X是形變收縮，若對于x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則稱A為X的強形變收縮核。直觀地說，A是X的形變收縮核是指X可以連續(xù)形變成A，當形變過程中A的點都不變動時，A就是X的強形變收縮核。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數(shù)學家弗雷歇于1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數(shù)學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，并使用了“鄰域”概念，根據(jù)這一概念建立了抽象空間的完整理論，后人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現(xiàn)在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數(shù)學家里斯還從導集出發(fā)定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯(lián)莫斯科學派的數(shù)學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統(tǒng)研究，并在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規(guī)空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代后，法國數(shù)學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還于1940年出版了《拓撲群的積分及其應用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊致空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數(shù)學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數(shù)學家切赫建立起緊致空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》于1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續(xù)發(fā)展，不斷取得新的成果。
收縮核
收縮核是具有特殊性質的子空間。設X為拓撲空間，A是X的子空間，若存在連續(xù)映射r：X→A使得當x∈A時，r(x)=x，即r|A=1(1為A上恒同映射)，則稱A為X的收縮核，稱r為收縮映射或保核收縮。實際上，收縮映射r是A上恒同映射1在X上的擴張。若A是它的在X中的某個鄰域U的收縮核，則稱A為X的鄰域收縮核。
核
位勢論的基本概念。在位勢論中，所謂核，常指一般位勢的核(參見“一般位勢”)。這時若K(x，y)≥0恒成立，則稱K為正核；令K′(x，y)=K(y，x)(K′稱為K的轉置核)，若K′=K，則稱K為對稱核；當Ω為阿貝爾群且有K(x，y)=K(x-y)時，則稱K為平移不變核；若對于任意有緊支集的μ，有：
則稱K為正定核。此外，還有各種廣義形式的核，如測度核、廣義函數(shù)核等。
位勢論
現(xiàn)代分析數(shù)學領域的一個分支，主要研究各種形式的位勢(函數(shù))和與其密切關聯(lián)的調和函數(shù)、上(下、超、次)調和函數(shù)族的各種性質及其應用。經典位勢論的主要研究工具是微積分，并與微分方程、復變函數(shù)論緊密關聯(lián)；現(xiàn)代位勢論以拓撲、泛函分析與測度論、廣義函數(shù)等為主要工具，與分析數(shù)學領域的諸多分支相互滲透并和隨機過程建立了深刻的內在聯(lián)系。位勢論起源于物理學的萬有引力學說和靜電學，遠在1733年，拉格朗日(Lagrange，J.-L.)就注意到引力場是一個函數(shù)(稱為牛頓位勢)的梯度。在三維歐氏空間，一個單位質點ε的引力場在點x(x≠y)的牛頓位勢等于把一個單位質點從無窮遠移到點x所做的功，其值是1/|x-y|。因此，一個質量分布μ的引力場在x的牛頓位勢是：
1772年，拉普拉斯(Laplace，P.-S.)證明了，在不分布質量的地方，位勢滿足拉普拉斯方程。這樣，物理問題便化為求解偏微分方程的數(shù)學問題。
從18世紀到19世紀末，位勢論的研究限于n維歐氏空間上的牛頓位勢(n≥3)和對數(shù)位勢(n=2)，即所謂經典位勢論。其中心問題之一是古典狄利克雷問題的求解。1823年，泊松(Poisson，S.-D.)就球域情形給出了解的積分公式; 1828年，格林(Green，G.)對邊界充分光滑的有界區(qū)域，從物理直觀出發(fā)并借助于格林函數(shù)給出了解；1840年，高斯(Gauss，C.F.)采用變分法解決了平衡問題并得出狄氏問題的新解法。這兩個問題與掃除問題相關聯(lián)，此后一直被稱為位勢論三大基本問題。855年，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)和黎曼(Riemann，(G.F.)B.)利用所謂狄利克雷原理給出了解。此外，還有龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)的掃除法，施瓦茲(Schwarz，H.A.)的交錯法等。但是，由于缺乏足夠的數(shù)學工具，這些解法是不嚴密的，需要附加條件。另外，在這一時期的主要成果還有：1839年，埃恩蘇(Earnshaw，E.)證明狄氏解的極值原理；1850年，黎曼把位勢論與函數(shù)論作統(tǒng)一處理，揭示了格林函數(shù)和位勢同保形映射之間的密切聯(lián)系；1886年，哈納克(Harnack，C.G.A.)建立哈納克不等式及哈納克收斂原理。此外，關于諾伊曼問題及多重調和函數(shù)的研究也有不少成果。這樣，直到19世紀末，位勢論的三個基本原理，即極小值原理、收斂性質及狄利克雷問題的可解性已基本建立，它為現(xiàn)代位勢論的發(fā)展作了很好的準備。
20世紀以來，由于深入應用現(xiàn)代函數(shù)論、測度和積分的理論、泛函分析、一般拓撲學、抽象代數(shù)、現(xiàn)代概率論的思想和方法，位勢論得到蓬勃發(fā)展，開辟了新的研究方向，創(chuàng)造了新的方法，成為分析數(shù)學領域中比較徹底完成了現(xiàn)代化變革的一個分支，也影響了其他數(shù)學分支的發(fā)展。
