概念
形變收縮核(deformation retract)是一類特殊的收縮核。設(shè)X為拓?fù)淇臻g，A X，若存在收縮映射r：X→A和包含映射i：A→X使得：
則稱A為X的形變收縮核，倫移H稱為X到A的形變收縮。設(shè)A為X的形變收縮核，H：X×I→X是形變收縮，若對(duì)于x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則稱A為X的強(qiáng)形變收縮核。直觀地說(shuō)，A是X的形變收縮核是指X可以連續(xù)形變成A，當(dāng)形變過(guò)程中A的點(diǎn)都不變動(dòng)時(shí)，A就是X的強(qiáng)形變收縮核。
拓?fù)淇臻g
拓?fù)淇臻g是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個(gè)集，在它的每一個(gè)點(diǎn)賦予一種確定的鄰域結(jié)構(gòu)便構(gòu)成一個(gè)拓?fù)淇臻g。拓?fù)淇臻g是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷歇于1906年開(kāi)始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國(guó)數(shù)學(xué)家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓?fù)淇臻g定義為一個(gè)集合，并使用了“鄰域”概念，根據(jù)這一概念建立了抽象空間的完整理論，后人稱他建立的這種拓?fù)淇臻g為豪斯多夫空間(即現(xiàn)在的T2拓?fù)淇臻g)。同時(shí)期的匈牙利數(shù)學(xué)家里斯還從導(dǎo)集出發(fā)定義了拓?fù)淇臻g。20世紀(jì)20年代，原蘇聯(lián)莫斯科學(xué)派的數(shù)學(xué)家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對(duì)緊與列緊空間理論進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并在距離化問(wèn)題上有重要貢獻(xiàn)。1930年該學(xué)派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的無(wú)窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規(guī)空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀(jì)30年代后，法國(guó)數(shù)學(xué)家又在拓?fù)淇臻g方面做出新貢獻(xiàn)。1937年布爾巴基學(xué)派的主要成員H.嘉當(dāng)引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質(zhì)的屬性顯示出來(lái)。韋伊提出一致性結(jié)構(gòu)的概念，推廣了距離空間，還于1940年出版了《拓?fù)淙旱姆e分及其應(yīng)用》一書(shū)。1944年迪厄多內(nèi)引進(jìn)雙緊致空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學(xué)生們進(jìn)行了完整的研究。布爾巴基學(xué)派的《一般拓?fù)鋵W(xué)》亦對(duì)拓?fù)淇臻g理論進(jìn)行了補(bǔ)充和總結(jié)。
此外，美國(guó)數(shù)學(xué)家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結(jié)果。捷克數(shù)學(xué)家切赫建立起緊致空間的包絡(luò)理論，為一般拓?fù)鋵W(xué)提供了有力工具。他的著作《拓?fù)淇臻g論》于1960年出版。近幾十年來(lái)拓?fù)淇臻g理論仍在繼續(xù)發(fā)展，不斷取得新的成果。
收縮核
收縮核是具有特殊性質(zhì)的子空間。設(shè)X為拓?fù)淇臻g，A是X的子空間，若存在連續(xù)映射r：X→A使得當(dāng)x∈A時(shí)，r(x)=x，即r|A=1(1為A上恒同映射)，則稱A為X的收縮核，稱r為收縮映射或保核收縮。實(shí)際上，收縮映射r是A上恒同映射1在X上的擴(kuò)張。若A是它的在X中的某個(gè)鄰域U的收縮核，則稱A為X的鄰域收縮核。
核
位勢(shì)論的基本概念。在位勢(shì)論中，所謂核，常指一般位勢(shì)的核(參見(jiàn)“一般位勢(shì)”)。這時(shí)若K(x，y)≥0恒成立，則稱K為正核；令K′(x，y)=K(y，x)(K′稱為K的轉(zhuǎn)置核)，若K′=K，則稱K為對(duì)稱核；當(dāng)Ω為阿貝爾群且有K(x，y)=K(x-y)時(shí)，則稱K為平移不變核；若對(duì)于任意有緊支集的μ，有：
則稱K為正定核。此外，還有各種廣義形式的核，如測(cè)度核、廣義函數(shù)核等。
位勢(shì)論
現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)分支，主要研究各種形式的位勢(shì)(函數(shù))和與其密切關(guān)聯(lián)的調(diào)和函數(shù)、上(下、超、次)調(diào)和函數(shù)族的各種性質(zhì)及其應(yīng)用。經(jīng)典位勢(shì)論的主要研究工具是微積分，并與微分方程、復(fù)變函數(shù)論緊密關(guān)聯(lián)；現(xiàn)代位勢(shì)論以拓?fù)?、泛函分析與測(cè)度論、廣義函數(shù)等為主要工具，與分析數(shù)學(xué)領(lǐng)域的諸多分支相互滲透并和隨機(jī)過(guò)程建立了深刻的內(nèi)在聯(lián)系。位勢(shì)論起源于物理學(xué)的萬(wàn)有引力學(xué)說(shuō)和靜電學(xué)，遠(yuǎn)在1733年，拉格朗日(Lagrange，J.-L.)就注意到引力場(chǎng)是一個(gè)函數(shù)(稱為牛頓位勢(shì))的梯度。在三維歐氏空間，一個(gè)單位質(zhì)點(diǎn)ε的引力場(chǎng)在點(diǎn)x(x≠y)的牛頓位勢(shì)等于把一個(gè)單位質(zhì)點(diǎn)從無(wú)窮遠(yuǎn)移到點(diǎn)x所做的功，其值是1/|x-y|。因此，一個(gè)質(zhì)量分布μ的引力場(chǎng)在x的牛頓位勢(shì)是：
1772年，拉普拉斯(Laplace，P.-S.)證明了，在不分布質(zhì)量的地方，位勢(shì)滿足拉普拉斯方程。這樣，物理問(wèn)題便化為求解偏微分方程的數(shù)學(xué)問(wèn)題。
從18世紀(jì)到19世紀(jì)末，位勢(shì)論的研究限于n維歐氏空間上的牛頓位勢(shì)(n≥3)和對(duì)數(shù)位勢(shì)(n=2)，即所謂經(jīng)典位勢(shì)論。其中心問(wèn)題之一是古典狄利克雷問(wèn)題的求解。1823年，泊松(Poisson，S.-D.)就球域情形給出了解的積分公式; 1828年，格林(Green，G.)對(duì)邊界充分光滑的有界區(qū)域，從物理直觀出發(fā)并借助于格林函數(shù)給出了解；1840年，高斯(Gauss，C.F.)采用變分法解決了平衡問(wèn)題并得出狄氏問(wèn)題的新解法。這兩個(gè)問(wèn)題與掃除問(wèn)題相關(guān)聯(lián)，此后一直被稱為位勢(shì)論三大基本問(wèn)題。855年，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)和黎曼(Riemann，(G.F.)B.)利用所謂狄利克雷原理給出了解。此外，還有龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)的掃除法，施瓦茲(Schwarz，H.A.)的交錯(cuò)法等。但是，由于缺乏足夠的數(shù)學(xué)工具，這些解法是不嚴(yán)密的，需要附加條件。另外，在這一時(shí)期的主要成果還有：1839年，埃恩蘇(Earnshaw，E.)證明狄氏解的極值原理；1850年，黎曼把位勢(shì)論與函數(shù)論作統(tǒng)一處理，揭示了格林函數(shù)和位勢(shì)同保形映射之間的密切聯(lián)系；1886年，哈納克(Harnack，C.G.A.)建立哈納克不等式及哈納克收斂原理。此外，關(guān)于諾伊曼問(wèn)題及多重調(diào)和函數(shù)的研究也有不少成果。這樣，直到19世紀(jì)末，位勢(shì)論的三個(gè)基本原理，即極小值原理、收斂性質(zhì)及狄利克雷問(wèn)題的可解性已基本建立，它為現(xiàn)代位勢(shì)論的發(fā)展作了很好的準(zhǔn)備。
20世紀(jì)以來(lái)，由于深入應(yīng)用現(xiàn)代函數(shù)論、測(cè)度和積分的理論、泛函分析、一般拓?fù)鋵W(xué)、抽象代數(shù)、現(xiàn)代概率論的思想和方法，位勢(shì)論得到蓬勃發(fā)展，開(kāi)辟了新的研究方向，創(chuàng)造了新的方法，成為分析數(shù)學(xué)領(lǐng)域中比較徹底完成了現(xiàn)代化變革的一個(gè)分支，也影響了其他數(shù)學(xué)分支的發(fā)展。
