集合環(huán)(ring of sets)簡稱集環(huán)，是一種常見的集合代數(shù)。如果由集合構(gòu)成的非空族R滿足：A∈R和B∈R蘊涵A∪B ∈R，A-B∈R，則稱R為一個集環(huán)。如果它還滿足An∈R(n=1,2,…)蘊涵∪n=1An∈R，則稱R為σ(集)環(huán)。如果把兩個集合的對稱差看作和，把兩個集合的交看作積，則上面定義的集環(huán)就是在這兩種運算下的代數(shù)意義上的環(huán)。對任何集合X，它的一切有限子集構(gòu)成的族S是一個集環(huán)。左閉右開區(qū)間的一切有限并構(gòu)成一個集環(huán)。設(shè)C是由集合X的一些子集構(gòu)成的一個族，則一切包含C的集環(huán)(或σ環(huán))的交是包含C的最小集環(huán)(或σ環(huán))，稱為由C生成的集環(huán)(或σ環(huán))。

外文名

ring of sets

所屬學(xué)科

數(shù)學(xué)

基本介紹

集合E的全體子集之集P(E)的任一非空子集，如果它對有限并及差的運算是穩(wěn)定的，則稱它為集合E的集（合）環(huán)，從而集環(huán)對于有限交運算亦是穩(wěn)定的，例如，R上兩兩不相交的有界區(qū)間的有限并之全體構(gòu)成R的集環(huán)，更一般地，R上兩兩不相交的有界長方體的有限并之全體構(gòu)成Rn的集環(huán)，包含由集合E的子集所成的已知集合A的所有集環(huán)的交還是集環(huán)，稱為由A生成的集環(huán)。

集合環(huán)的性質(zhì)

集合環(huán)是一種常見的集合代數(shù)。若A為一非空集族，且對于任意

，

，均有

，

，則稱A在集合的交、并運算下成一集合環(huán)，記為

.其中A稱為集合環(huán)的基礎(chǔ)集族，∩與

是集合環(huán)的運算.

是集合環(huán)的條件可以用符號表述為?A?B(A∈A∧B∈A→A∩B∈A∧A∪B∈A)。

集合環(huán)有下列性質(zhì)：

1.設(shè)

，A，A，…，

，則：

,

，

.

2.設(shè)

是集合環(huán)，則

也是集合環(huán)。例如，

是集合環(huán)，當(dāng)

時，稱U是U的子集環(huán)，U是U的母集環(huán)。

3.對任何集族M，存在一個包含它的最小集合環(huán)

，使MA，這只要取M中有限個元素的有限交的有限并來構(gòu)成A就行了。

集合代數(shù)

集合代數(shù)亦稱冪集代數(shù)，是一種特殊的集合族的代數(shù)。如果集族A的元素對于指定的某些集合運算封閉，這些運算滿足若干公理，就稱集族A關(guān)于這些運算在指定公理體系下成為一個集合代數(shù)。例如，集合環(huán)、集合域等都是集合代數(shù)。這里A稱為這個集合代數(shù)的基礎(chǔ)集(族)，這些運算稱為集合代數(shù)的運算。

常見的集合代數(shù)如下：

1.對于集合的并運算封閉的集族A作成的并代數(shù)：〈A，∪〉。

2.對于集合的交運算封閉的集族A作成的交代數(shù)：〈A，∩〉。

3.集合環(huán)：〈A，∩，∪〉。

4.集合域：〈A，∩，∪，〉。

5.以全集I的冪集P(I)為基礎(chǔ)集的集合代數(shù)：〈P(I)，∩，∪，?〉，“?”表示集合的補運算，這種集合代數(shù)是一種布爾代數(shù)(參見“冪集代數(shù)”)。

集合代數(shù)與其他代數(shù)不同之點是：

1.它以集族為基礎(chǔ)集合。

2.它的運算是集合運算。

3.它的公理體系就是在集合運算的基本性質(zhì)上添上或不添上若干附加要求。