在數(shù)學(xué)的代數(shù)拓?fù)浞种е校負(fù)淇臻gX 與Y 之間函數(shù)f 的映射柱（mapping cylinder）是將任何一個(gè)映射用一個(gè)在如下意義下等價(jià)的上纖維化代替的方法。

外文名

mapping cylinder

所屬學(xué)科

代數(shù)拓?fù)?/span>

定義

在數(shù)學(xué)的代數(shù)拓?fù)浞种е?，拓?fù)淇臻gX與Y之間函數(shù)f 的

映射柱

（mapping cylinder）是將任何一個(gè)映射用一個(gè)在如下意義下等價(jià)的上纖維化代替的方法：

映射柱

映射柱

映射柱

映射柱

給定映射，映射柱由一個(gè)空間 與一個(gè)上纖維化 以及滿同倫等價(jià)（事實(shí)上， Y是 的形變收縮）組成，使得復(fù)合等于 f。

映射柱

映射柱

這樣空間 Y被一個(gè)同倫等價(jià)的空間 取代，映射 f被提升映射 代替。等價(jià)地，

圖表

映射柱

被圖表

映射柱

與這兩個(gè)圖表之間的一個(gè)同倫等價(jià)取代。

這個(gè)構(gòu)造用于將拓?fù)淇臻g之間的映射用拓?fù)涞葍r(jià)的上纖維化取代。注意逐點(diǎn)一個(gè)上纖維化是一個(gè)閉包含映射。

構(gòu)造

M的正式定義如下：

映射柱

映射柱

映射柱

映射柱

映射柱

映射柱

映射柱

這里l是單位區(qū)間，表示兩個(gè)拓?fù)淇臻g的不交并，是把 等同起來(lái)的等價(jià)關(guān)系（將柱 的一個(gè)底面通過(guò) f與 Y黏合起來(lái)）。從而非正式地說(shuō)，映射柱 是把 的一個(gè)底面用 f黏貼到 Y得到的構(gòu)造。

映射柱

映射柱

映射柱

映射柱

定義 為（將 X包含到另一個(gè)底面）。定義 為 而在 M的 Y部分為恒同。根據(jù)等價(jià)關(guān)系 ~這是良定義的。

映射柱

注意到 Y是 的形變收縮。

映射柱

映射柱

投影 分裂（通過(guò)），形變收縮（取時(shí)間參數(shù)為 s）由下式給出：

映射柱

（這里所有 Y中的點(diǎn)不動(dòng)，從而是一個(gè)形變收縮。）

應(yīng)用

映射柱將關(guān)于子空間或空間包含的定理運(yùn)用到到不必是單射的一般映射。

映射柱

因此，那些與空間、所涉及映射的同倫類無(wú)關(guān)的定理或方法（比如同調(diào)、上同調(diào)或同倫理論本身）可能可適用到X,Y,f，這里假設(shè) 以及 f事實(shí)上是子空間的包含。另外，這個(gè)構(gòu)造更本質(zhì)的吸引之處是它與通常心理的印象一個(gè)函數(shù)是將 X中的點(diǎn)“送到” Y中的點(diǎn)一致，從而X 嵌入Y 中也是（盡管函數(shù)不必是一對(duì)一的）。這個(gè)構(gòu)造給出了一個(gè)圖像同倫等價(jià)于直覺(jué)的那個(gè)，這表明直覺(jué)圖像是正確的只要Y的形變不是一個(gè)阻礙。范疇?wèi)?yīng)用與解釋

我們可以用映射柱構(gòu)造同倫極限：給定一個(gè)圖表，將其中的映射用上纖維化代替（利用映射柱），然后取通常的逐點(diǎn)極限（需多些注意，但映射柱是其中一部分）。

映射柱

映射柱

相反地，映射柱是圖表的同倫推出，這里 而。

映射望遠(yuǎn)鏡

給定映射序列

映射柱

映射望遠(yuǎn)鏡是同倫正向極限。如果所有這些映射已經(jīng)是上纖維化（比如正交群），則正向極限是并集，但是一般情形必須使用映射望遠(yuǎn)鏡。映射望遠(yuǎn)鏡是一個(gè)映射柱序列，底面和底面相連。這個(gè)構(gòu)造的圖像看起來(lái)像堆起來(lái)的變大的柱子，即像一個(gè)望遠(yuǎn)鏡，從而有這樣的名稱。

映射望遠(yuǎn)鏡的正式定義為

映射柱

另見(jiàn)

??映射柱 (同調(diào)代數(shù))

??非豪斯多夫映射柱