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定義

定義一

由李群的李代數(shù)到李群的一種解析映射。若G為李群,e為單位元素,T(G)為G中點(diǎn)e的切空間，任取

,則惟一存在左不變向量場(chǎng)X,使得

.任給左不變向量場(chǎng)X,構(gòu)作算子

任意取定單位坐標(biāo)鄰域U,點(diǎn)

,記

當(dāng)

為U中點(diǎn)。于是，在U中有一條單參數(shù)解析曲線

記

.它可開拓到

,使得

且

為G之一維連通李子群。反之，任意一維連通李子群惟一決定左不變向量場(chǎng)X,使得此李子群為exp(tX).于是，有映射

,稱為指數(shù)映射，這里J為李群G的李代數(shù)。指數(shù)映射是建立李群和它的李代數(shù)間的關(guān)系的重要工具，在李群理論中占有重要的地位.

且

為G之一維連通李子群。反之，任意一維連通李子群惟一決定左不變向量場(chǎng)X，使得此李子群為exp (tX ).于是，有映射

，稱為指數(shù)映射，這里J為李群G的李代數(shù)。指數(shù)映射是建立李群和它的李代數(shù)間的關(guān)系的重要工具，在李群理論中占有重要的地位 ? .

定義二

切平面到曲面的一種映射。設(shè)T是曲面S在P點(diǎn)的切平面，指數(shù)映射是從切平面T到曲面S上的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，記成

,定義如下：設(shè)v是曲面S在P點(diǎn)的一個(gè)切向量，過P作S上切于v的測(cè)地線，在此測(cè)地線上取一點(diǎn)M使得從P到M的弧長正好等于v的長度|v|,則定義

? .引理1 對(duì)于曲面M上的每點(diǎn)p0，存在包含p0的一個(gè)坐標(biāo)鄰域U及常數(shù)

，使得對(duì)于每點(diǎn)

和p點(diǎn)切空間T(M)中每個(gè)長度小于ε的切向量v，都有唯一的一條滿足初始條件

的測(cè)地線:

設(shè)

，若存在測(cè)地線

滿足初始條件

那么點(diǎn)

叫做在q點(diǎn)切向量v的指數(shù)映像，用

表示γ(1)，而映射

稱為在q點(diǎn)的指數(shù)映射．于是，滿足初始條件的唯一測(cè)地線可表達(dá)為

根據(jù)引理1 當(dāng)||v|| 充分小時(shí)，

是確定的．一般地說，對(duì)于長度較長的向量v，指數(shù)映像

未必能確定．然而如果能確定，則總是唯一的．

定義若對(duì)于任何點(diǎn)

和任何向量

，指數(shù)映像

總是確定的，則曲面M稱為測(cè)地完備的．

顯然，測(cè)地完備性等價(jià)于下述要求：對(duì)于每段測(cè)地線段

，總能夠把

延拓成無限長的測(cè)地線：

因此，我們也可把后者作為測(cè)地完備性的定義 ? ．

與李代數(shù)

研究李代數(shù)元素的另一種方法是把它看作群上的左不變向量場(chǎng)．迄今為止，我們只是討論單位元處的向量，對(duì)于向量場(chǎng)，需要涉及所有群元素的切線．將一個(gè)群元素在左側(cè)相乘。就定義了群流形的一個(gè)同構(gòu)

，其中

，群在它的基礎(chǔ)流形上的這個(gè)作用誘導(dǎo)出在該流形向量場(chǎng)上的作用．左不變向量場(chǎng)關(guān)于這個(gè)作用是固定不變的．將任何左不變向量場(chǎng)限制到單位元上的切向量。即一個(gè)李代數(shù)元素．而給出一個(gè)單位元上的切向量。就能產(chǎn)生一個(gè)左不變向量場(chǎng)．我們需要做的就是左平移原始向量到流形上的每個(gè)點(diǎn)．如果X是一個(gè)矩陣。描述單位元處的切向量。則在群的點(diǎn)g處的切向量定義為gX．因此，單位元的切向量和左不變向量場(chǎng)之間是一一對(duì)應(yīng)的．

這些左不變向量場(chǎng)的積分曲線在后面起重要的作用．向量場(chǎng)的積分曲線是在每一點(diǎn)都與該場(chǎng)相切的曲線．對(duì)于左不變向量場(chǎng)。這個(gè)曲線滿足如下微分方程：

這個(gè)方程有解析解，通過單位元素的解是

矩陣X的指數(shù)可以展開成冪級(jí)數(shù)：

對(duì)于矩陣指數(shù)有如下關(guān)系：

當(dāng)且僅當(dāng)

．

這表示只有當(dāng)指數(shù)是可交換時(shí)，指數(shù)積運(yùn)算時(shí)指數(shù)才可以相加．當(dāng)然，元素

和

是可交換的，這表示形如

的群元素構(gòu)成子群：

它們是群的一維或單參數(shù)子群．用這種方法。每個(gè)李代數(shù)元素都產(chǎn)生一個(gè)單參數(shù)子群．

指數(shù)函數(shù)也可以被看作給出了從李代數(shù)到群的映射。這個(gè)映射通常既不是單射也不是滿射，但是在單位元附近它是同胚映射．即在李代數(shù)上存在0的鄰域同胚映射到群的單位元的鄰域．在這個(gè)鄰域存在一個(gè)逆映射。通常被稱作對(duì)數(shù)，由眾所周知的Mercator級(jí)數(shù)定義。即

當(dāng)g遠(yuǎn)離單位元時(shí)，級(jí)數(shù)不收斂．

矩陣指數(shù)的行列式是矩陣跡的指數(shù)：

矩陣的跡Tr()是它的對(duì)角線元素之和．如果矩陣X的特征值都不相同。那么這個(gè)關(guān)系能夠通過對(duì)角化矩陣簡(jiǎn)單地證明．即使在一般情況下，這個(gè)關(guān)系也是正確的．由這個(gè)關(guān)系可以得到：矩陣指數(shù)的行列式為1當(dāng)且僅當(dāng)矩陣是跡為0的．這就是李代數(shù)so(n),su(n)和sl(n)由跡為0的矩陣構(gòu)成的原因．

對(duì)于某些李代數(shù)，我們能夠更詳細(xì)地確定它的指數(shù)映射．例如?？紤]su(2),典型的李代數(shù)元素m用伴隨表示可以描述成如下形式的矩陣：