五次方程是未知項總次數(shù)最高為5的整式方程。一般的五次方程沒有統(tǒng)一的公式解存在。

中文名

五次方程

釋義

未知項總次數(shù)最高為5的整式方程

相關(guān)解釋

群論

特點

一般的五次方程沒有統(tǒng)一的根式解

概述

陶平生先生認(rèn)為：群論

是解決該問題的一種很好的方法。

其實，在我們的人教B版高中數(shù)學(xué)課本《選修3-4對稱與群》里，已經(jīng)說明：

第一，1824年：挪威的一位年輕人阿貝爾證明了：五次代數(shù)方程通用的求根公式是不存在的；

第二，伽羅瓦證得了5次及其以上方程沒有統(tǒng)一的求根公式；

第三，伽羅瓦能給出恰好有H=S的方程，而在群論里面很容易證明當(dāng)n≥5時，S不是一個可解群。

歷史

第一個版本

二次、三次、四次方程的根都可以用它的系數(shù)的代數(shù)式(即只含有限項的加、減、乘、除和開方五種代數(shù)運(yùn)算的表達(dá)式)來表示，五次及五次以上方程到底是否也行，這個問題吸引了眾多的著名數(shù)學(xué)家，在300多年的時間里，人們的各種嘗試都失敗了。

后來在18世紀(jì)初，保羅·拉尼爾證明了五次方程沒有代數(shù)解。過了10年左右，阿貝爾同意相信他的理論并給出了證明。

到了18世紀(jì)下半葉，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日總結(jié)分析了別人失敗的教訓(xùn)，也意識到這種用代數(shù)方法求解五次方程的公式可能不存在，設(shè)想了一種理論上的利用根式求解方程的步驟，但還是碰了壁。

利用一些超越函數(shù)，如theta function或Dedekind eta function即可找到五次方程的公式解。另外，若我們只需要求得數(shù)值解，可以利用數(shù)值方法（如牛頓迭代法）得到相當(dāng)理想的解答。

拉格朗日的工作啟發(fā)了年輕的阿貝爾(挪威數(shù)學(xué)家)，中學(xué)時期就自學(xué)了許多名家的數(shù)學(xué)著作，進(jìn)大學(xué)后，開始研究五次方程的代數(shù)解問題。1824年，他嚴(yán)格地證明了高于四次的一般代數(shù)方程不可能有一般形式的代數(shù)解，這時他才22歲，尚未大學(xué)畢業(yè)，但沒有得到別人理解，將論文寄給高斯，也未引起注意，1826年才得以公開發(fā)表論文。阿貝爾只是證明了高于四次方程的一般代數(shù)方程不可能有一般形式的代數(shù)解，沒有指出哪些特殊的方程存在代數(shù)解。這個問題后來被法國年輕數(shù)學(xué)家伽羅瓦所解決，伽羅瓦創(chuàng)設(shè)的理論給出了可解性判別準(zhǔn)則，并因此而開辟了數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域——

群論

。

第二個版本

1770年：拉格朗日詳細(xì)考察了人們求解2、3、4次方程的方法，首次意識到5次及其以上方程求根公式可能不存在，雖然他未能證明自己的斷言，但是，他提出的根的置換理論揭示了問題的本質(zhì)，也是這個問題最后解決所出現(xiàn)的曙光。

1801年：高斯證明分圓多項式

（p為素數(shù)）可以用根式求解，這使得人們意識到，至少有一部分高次方程是可以根式求解的。

1824年：挪威的一位年輕人阿貝爾證明了：五次代數(shù)方程通用的求根公式是不存在的。當(dāng)然，結(jié)合高斯關(guān)于分圓多項式的結(jié)論，我們知道，接下來的問題是解決，如何判定具體的代數(shù)方程是否可根式解。這個問題阿貝爾并沒有回答。

1830年：法國數(shù)學(xué)天才伽羅瓦徹底解決了5次方程何時可以根式解的問題。可是他的結(jié)果已知沒有能夠發(fā)表。

1846年：伽羅瓦死后14年，他的這一偉大成果發(fā)表，其中首次提出了群的概念，并最終利用群論解決了這個世界難題。

1870年：法國數(shù)學(xué)家若爾當(dāng)（C.Jordan，1838～1922）根據(jù)伽羅瓦的思想撰寫了《論置換與代數(shù)方程》一書，人們才真正領(lǐng)略了伽羅瓦的偉大思想。

源引：《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修3-4對稱與群》，人教B版。

4.4群與代數(shù)方程根式可解性。