一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白（一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白）

概述

本文用詞優(yōu)美，甚至有幾處引用了威廉·莎士比亞的詩(shī)文，這與普通的數(shù)學(xué)家平時(shí)所作的論文在語(yǔ)言方面有著大大的不同。不僅如此，從字里行間還可以體會(huì)到哈代的一種淡淡的憂傷。

《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》盡管有著較強(qiáng)的文學(xué)性質(zhì)，行文卻較為雜亂，讀者經(jīng)常會(huì)遇到中途轉(zhuǎn)移話題的情況。但總體上說(shuō)，本文主要圍繞這三個(gè)主題展開(kāi)：數(shù)學(xué)的美，數(shù)學(xué)的持久性和數(shù)學(xué)的重要性。

在本書(shū)的題目中，哈代所使用的“辯白”一詞表達(dá)的意思是一種正式的辯護(hù)或抗辯（就如同柏拉圖的《蘇格拉底的申辯》），而不是一種對(duì)寬恕的懇求，或?qū)Λ@得清白的希冀。

哈代覺(jué)得有必要為他一生在數(shù)學(xué)上的事業(yè)作辯解的原因有兩個(gè)：

第一，62歲的哈代覺(jué)得他已經(jīng)接近衰老（他在1939年曾幸免于一次突發(fā)的心臟?。?，同時(shí)，他的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力也在衰退?；〞r(shí)間寫(xiě)這本辯白，意味著哈代認(rèn)為自己作為一個(gè)開(kāi)創(chuàng)性的數(shù)學(xué)家的時(shí)期已經(jīng)結(jié)束。在C·P·斯諾為該書(shū)1967年版所作的序中，他這樣描述哈代的這本辯白，“（它）是對(duì)曾經(jīng)所擁有的而現(xiàn)在已經(jīng)一去不返的創(chuàng)造力的深情挽歌”。用哈代本人的話來(lái)說(shuō)，“解釋、評(píng)論、鑒賞，是次等工作。作為一個(gè)專業(yè)的數(shù)學(xué)家卻來(lái)寫(xiě)關(guān)于數(shù)學(xué)的東西是悲哀的。數(shù)學(xué)家的使命在于做些實(shí)事，證明新的定理，使數(shù)學(xué)有所發(fā)展，而不是談?wù)撟约夯蚱渌麛?shù)學(xué)家做了些什么。

哈代認(rèn)為自己已經(jīng)沒(méi)有能力去積極發(fā)展新的數(shù)學(xué)思想了，他這樣寫(xiě)到，“我之所以寫(xiě)關(guān)于數(shù)學(xué)的書(shū)是因?yàn)?，如同其他年過(guò)花甲的數(shù)學(xué)家一樣，我已經(jīng)沒(méi)有新思維，精力，或者說(shuō)耐心，去繼續(xù)有效地做自己的工作?！庇谑牵X(jué)得自己唯一還能為數(shù)學(xué)做點(diǎn)貢獻(xiàn)的便是寫(xiě)一本探討數(shù)學(xué)的書(shū)，借以表達(dá)自己對(duì)這門(mén)學(xué)科的個(gè)人看法。

第二，在第二次世界大戰(zhàn)之初，哈代作為一個(gè)積極的反戰(zhàn)主義者，想為他的信仰——追求、探索數(shù)學(xué)的目的應(yīng)當(dāng)是出于數(shù)學(xué)的本身價(jià)值，而不是出于應(yīng)用價(jià)值——做出辯護(hù)。探索數(shù)學(xué)是為了數(shù)學(xué)的單純，為了它內(nèi)部的完善，為了明晰尚不清楚的概念。他想寫(xiě)本書(shū)，向后輩的數(shù)學(xué)家闡述自己對(duì)數(shù)學(xué)的哲學(xué)認(rèn)識(shí)；從數(shù)學(xué)自身的重要性出發(fā)為數(shù)學(xué)做辯護(hù)，詳細(xì)說(shuō)明純數(shù)學(xué)本身的價(jià)值——并不要依賴于應(yīng)用數(shù)學(xué)的成果去證明數(shù)學(xué)的重要性；同時(shí)能夠激勵(lì)正在成長(zhǎng)中的一代純數(shù)學(xué)家。鑒于哈代是一個(gè)無(wú)神論者，他做出他的辯護(hù)是為了勉勵(lì)他的后繼者而不是為了獻(xiàn)給上帝。

本書(shū)中一個(gè)重要的主題是數(shù)學(xué)之美。

對(duì)于哈代來(lái)說(shuō)，最美的數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)沒(méi)有一點(diǎn)在現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用，也即是他所說(shuō)的純數(shù)學(xué)，尤其是他所鐘情的數(shù)論。他在為追求純數(shù)學(xué)辯解的同時(shí)，透露出了他關(guān)于純數(shù)學(xué)的“無(wú)用性”（uselessness）的觀點(diǎn)。所謂數(shù)學(xué)的無(wú)用性即是說(shuō)純數(shù)學(xué)不會(huì)被濫用而導(dǎo)致傷害。而另一方面，哈代貶低應(yīng)用數(shù)學(xué)，甚至將其描述成“丑陋”、“瑣碎”和“乏味”的。

值得一提的是，并不是應(yīng)用數(shù)學(xué)中概念與定理的實(shí)用性使得哈代認(rèn)為應(yīng)用數(shù)學(xué)比純數(shù)學(xué)更低一等，而是因?yàn)橥ǔ?lái)說(shuō)，這樣的數(shù)學(xué)會(huì)有更為普遍的應(yīng)用。哈代說(shuō)，是內(nèi)容的簡(jiǎn)單與平凡迫使他如此描述應(yīng)用數(shù)學(xué)的。根據(jù)哈代的定義，這些描述是否被賦予數(shù)學(xué)中的某一分支是由構(gòu)成這一分支基礎(chǔ)的潛在概念的創(chuàng)造性、深度以及美所決定的。

卡爾·弗雷德里希·高斯曾說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)是科學(xué)中的皇后，而數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇后。”哈代教授對(duì)高斯這句話的評(píng)論則更加強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)。有些人認(rèn)為是由于數(shù)論極端的無(wú)應(yīng)用性才使得高斯做出上述的陳述；然而，哈代指出這并不是主要緣由。就算數(shù)論的應(yīng)用被找到了，也不會(huì)有人會(huì)因此罷黜這一數(shù)學(xué)的皇后。哈代認(rèn)為高斯所想表達(dá)的意思是：構(gòu)成數(shù)論的潛在的概念比其它數(shù)學(xué)分支的更加深刻更加優(yōu)雅。

在本書(shū)中，哈代將數(shù)學(xué)與繪畫(huà)和詩(shī)歌作類比。他說(shuō)道，數(shù)學(xué)家與畫(huà)家和詩(shī)人一樣，是模式的創(chuàng)造者。這一觀點(diǎn)與很多人一致，如科學(xué)作家艾薩克·阿西莫夫在第三部自傳《人生舞臺(tái)》中也提到這一點(diǎn)。

在第八節(jié)中，哈代談到數(shù)學(xué)的持久性。他提到，在所有的學(xué)科中，數(shù)學(xué)是最能使人好奇的，因?yàn)樵谄渌麑W(xué)科中，真理都沒(méi)有占據(jù)如此重要的位置。后面他總結(jié)道，正如歷史所證實(shí)的，數(shù)學(xué)成就是最為持久的。接著他舉例，巴比倫和亞述文化都衰亡了，漢謨拉比，薩爾貢和尼布甲尼撒都成為了空洞的名字，然而巴比倫的數(shù)學(xué)仍然是精彩的——巴比倫所創(chuàng)造的60進(jìn)制仍然在天文學(xué)中使用。

在第十一節(jié)中，哈代通過(guò)數(shù)學(xué)與國(guó)際象棋的比較，說(shuō)明了數(shù)學(xué)的重要性（importance）。哈代談到，一個(gè)國(guó)際象棋問(wèn)題的確是數(shù)學(xué)問(wèn)題，但卻是“瑣碎的”（trivial）數(shù)學(xué)。不管每一步是如何的精巧，都不重要。哈代甚至因?yàn)檫@一言論而受到批評(píng)。在此處，哈代所指的“重要”并不是說(shuō)某一數(shù)學(xué)所帶來(lái)的直接實(shí)際作用，而是數(shù)學(xué)思想所聯(lián)系的更多更有意義的內(nèi)容。一個(gè)重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，會(huì)帶來(lái)一些十分有意義的想法，聯(lián)系起很多個(gè)數(shù)學(xué)分支中各不相干的內(nèi)容，還可能會(huì)給數(shù)學(xué)甚至其他的科學(xué)帶來(lái)重大的進(jìn)步。而象棋，即使是最重要的棋局，也從來(lái)都沒(méi)有帶來(lái)任何的科學(xué)進(jìn)展。

他同時(shí)舉了羅爾定理作例子，這個(gè)定理雖然在在微積分中具有一定的重要性，但是卻不能與萊昂哈德·歐拉與埃瓦里斯特·伽羅瓦等純數(shù)學(xué)家工作的優(yōu)雅和卓越相比。

正如他在他的書(shū)中寫(xiě)道的：“就算在數(shù)學(xué)界，歷史也常常玩奇怪的把戲：羅爾在初等微積分中如此地經(jīng)常出現(xiàn)，就好像他是和牛頓齊名的一個(gè)數(shù)學(xué)家?！?/p>“年輕人的游戲”

另一個(gè)重要的主題是“數(shù)學(xué)是一個(gè)‘年輕人的游戲’”，即是說(shuō)任何有著數(shù)學(xué)天賦的人應(yīng)當(dāng)趁他們還年輕的時(shí)候發(fā)展并利用這些天賦，不至于等到中年，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造力開(kāi)始衰退的時(shí)候。

在本書(shū)一開(kāi)始，哈代就寫(xiě)到，“當(dāng)一個(gè)職業(yè)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)他自己在寫(xiě)有關(guān)數(shù)學(xué)的東西的時(shí)候，他會(huì)很悲傷的?！保↖t is a melancholy experience for a professional mathematician to find himself writing about mathematics.）哈代繼續(xù)解釋道，數(shù)學(xué)家的作用應(yīng)該是去做一些事情，證明一些新的定理，為數(shù)學(xué)做些貢獻(xiàn)，而不是去談?wù)撍蛘咂渌臄?shù)學(xué)家已經(jīng)做過(guò)的事情。在年輕的時(shí)候，因?yàn)閾碛胸S富的靈感，數(shù)學(xué)家都忙于進(jìn)行數(shù)學(xué)研究。而當(dāng)靈感逐漸衰竭之時(shí)，數(shù)學(xué)家才會(huì)有時(shí)間寫(xiě)一些關(guān)于數(shù)學(xué)的文章而非論文。

哈代還舉到艾薩克·牛頓的例子：牛頓在24歲時(shí)，即產(chǎn)生了流數(shù)與萬(wàn)有引力的想法。而當(dāng)他50歲時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)有了更為深刻的理解，可能是因?yàn)橐恍┠芰σ呀?jīng)消退，卻放棄了數(shù)學(xué)。

這一觀點(diǎn)反映出了哈代對(duì)他數(shù)學(xué)能力衰退與日俱增的沮喪。對(duì)于哈代，真正的數(shù)學(xué)本質(zhì)上應(yīng)是一種創(chuàng)造的能力，而并非像哈代本人寫(xiě)這本書(shū)一樣，對(duì)數(shù)學(xué)的闡述或是解釋。

正專心致志的寫(xiě)《辯白》之時(shí)，哈代承認(rèn)他作為一個(gè)有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家的時(shí)期已經(jīng)結(jié)束了。正如在本書(shū)1967年版的的前言中，斯諾將這本“辯白”稱為“對(duì)以前屬于他的創(chuàng)造力再也不會(huì)回來(lái)所作的深切的痛惜”。

批評(píng)

哈代的思想曾被一戰(zhàn)和二戰(zhàn)間劍橋大學(xué)和牛津大學(xué)的學(xué)術(shù)文化深深地影響。他的猜測(cè)——只有每個(gè)領(lǐng)域的極好的原創(chuàng)性工作才會(huì)有深遠(yuǎn)持久的價(jià)值——在現(xiàn)在聽(tīng)起來(lái)是帶有精英主義思想的。

哈代在劍橋大學(xué)時(shí)，曾經(jīng)加入一個(gè)精英協(xié)會(huì)——?jiǎng)蚴雇綍?huì)，這也在一定程度上解釋了哈代精英主義思想的來(lái)源。

在本書(shū)末尾的注解中，哈代教授提起他和洛馬斯先生經(jīng)過(guò)特拉法加廣場(chǎng)的納爾遜紀(jì)念碑的經(jīng)歷。哈代自己認(rèn)為，如果自己能夠在倫敦有一個(gè)紀(jì)念碑，會(huì)希望這個(gè)紀(jì)念碑如同納爾遜紀(jì)念碑一樣高聳如云，以至于在低端根本看不見(jiàn)；而他猜測(cè)，斯諾博士則會(huì)希望紀(jì)念碑的細(xì)節(jié)都能夠被辨認(rèn)。這一段話從某種角度上說(shuō)，正是哈代精英主義的寫(xiě)照。

現(xiàn)在回顧起來(lái)，哈代的一些例子已經(jīng)過(guò)時(shí)。譬如說(shuō)，他寫(xiě)道，“到目前為止，還尚未有人能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)論和相對(duì)論用于任何與戰(zhàn)爭(zhēng)有關(guān)的目的，而且在今后許多年，也不太可能會(huì)有人能夠做到這一點(diǎn)?！?/p>

而在這之后，相對(duì)論用以解釋核武器為何威力如此巨大，與此同時(shí)，數(shù)論在公鑰加密中起到顯著的作用。但是不管怎樣，哈代的更加明顯的關(guān)于美麗的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)（關(guān)于質(zhì)數(shù)無(wú)窮多以及2的平方根的無(wú)理性的證明）是無(wú)用的的例子仍然是成立的。