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概率論是數學的一個分支，主要研究隨機現象的數量規(guī)律。隨機現象是指試驗或觀察前不能確定出現哪種結果的現象，具有偶然性。概率論旨在從數量上描述和解釋這些隨機現象的規(guī)律。 概率論的研究范圍很廣，包括概率模型、隨機過程、隨機變量和它們的分布、隨機事件的概率、獨立性和馬爾可夫性等。這些概念和工具可以用來描述和解釋各種現實世界中的隨機現象，如自然現象、工程系統(tǒng)、金融市場等。 概率論在數學和其他學科中都有廣泛應用。在數學領域，概率論是數理統(tǒng)計學、金融數學、風險分析等領域的核心基礎。在其他學科中，概率論被廣泛應用于物理學、生物學、社會科學、工程學等領域，例如天氣預報、遺傳學研究、市場預測等。 總之，概率論是一種重要的數學工具，用于研究和解釋隨機現象的數量規(guī)律和行為。概率論
研究隨機現象規(guī)律的數學分支
概率論
發(fā)展過程
起源
概率與統(tǒng)計的一些概念和簡單的方法，早期主要用于賭博和人口統(tǒng)計模型。隨著人類的社會實踐，人們需要了解各種不確定現象中隱含的必然規(guī)律性，并用數學方法研究各種結果出現的可能性大小，從而產生了概率論，并使之逐步發(fā)展成一門嚴謹的學科。概率與統(tǒng)計的方法日益滲透到各個領域，并廣泛應用于自然科學、經濟學、醫(yī)學、金融保險甚至人文科學中。
發(fā)展
隨著18、19世紀科學的發(fā)展，人們注意到在某些生物、物理和社會現象與機會游戲之間有某種相似性，從而由機會游戲起源的概率論被應用到這些領域中；同時這也大大推動了概率論本身的發(fā)展。使概率論成為數學的一個分支的奠基人是瑞士數學家伯努利，他建立了概率論中第一個極限定理，即伯努利大數定律，闡明了事件的頻率穩(wěn)定于它的概率。隨后棣莫弗和拉普拉斯又導出了第 二個基本極限定理（中心極限定理）的原始形式。拉普拉斯在系統(tǒng)總結前人工作的基礎上寫出了《分析的概率理論》，明確給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的分析工具，將概率論推向一個新的發(fā)展階段。19世紀末，俄國數學家切比雪夫、馬爾可夫、李亞普諾夫等人用分析方法建立了大數定律及中心極限定理的一般形式，科學地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機變量近似服從正態(tài)分布。20世紀初受物理學的刺激，人們開始研究隨機過程。這方面柯爾莫哥洛夫、維納、馬爾可夫、辛欽、萊維及費勒等人作了杰出的貢獻。
定義
傳統(tǒng)概率
傳統(tǒng)概率又叫拉普拉斯概率，因為其定義是由法國數學家拉普拉斯提出的。如果一個隨機試驗所包含的單位事件是有限的，且每個單位事件發(fā)生的可能性均相等，則這個隨機試驗叫做拉普拉斯試驗。在拉普拉斯試驗中，事件A在事件空間S中的概率P(A)為：
例如，在一次同時擲一個硬幣和一個骰子的隨機試驗中，假設事件A為獲得國徽面且點數大于4，那么事件A的概率應該有如下計算方法：
公理化定義
如何定義概率，如何把概率論建立在嚴格的邏輯基礎上，是概率理論發(fā)展的困難所在，對這一問題的探索一直持續(xù)了3個世紀。20世紀初完成的勒貝格測度與積分理論及隨后發(fā)展的抽象測度和積分理論，為概率公理體系的建立奠定了基礎。在這種背景下，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫1933年在他的《概率論基礎》一書中第一次給出了概率的測度論的定義和一套嚴密的公理體系。他的公理化方法成為現代概率論的基礎，使概率論成為嚴謹的數學分支，對概率論的迅速發(fā)展起了積極的作用。
以下是公理化定義：
（1）非負性：
（2）規(guī)范性：
（3）可列（完全）可加性：對于兩兩互不相容的可列無窮多個事件
統(tǒng)計定義
設隨機事件A在n次重復試驗中發(fā)生的次數為nA，若當試驗次數n很大時，頻率
事件
事件包括單位事件、事件空間、隨機事件等。
在一次隨機試驗中可能發(fā)生的唯一的，且相互之間獨立的結果被稱為單位事件，用e表示。在隨機試驗中可能發(fā)生的所有單位事件的集合稱為事件空間，用S來表示。例如在一次擲骰子的隨機試驗中，如果用獲得的點數來表示單位事件，那么一共可能出現6個單位事件，則事件空間可以表示為
隨機事件是事件空間S的子集，它由事件空間S中的單位元素構成，用大寫字母A，B，C...表示。例如在擲兩個骰子的隨機試驗中，設隨機事件
事件的計算
因為事件在一定程度上是以集合的含義定義的，因此可以把集合計算方法直接應用于事件的計算，也就是說，在計算過程中，可以把事件當作集合來對待。
A的補集 不屬于A的事件發(fā)生 | 聯集  或者A或者B或者A，B同時發(fā)生 | 交集  事件A，B同時發(fā)生 |
差集A\B 不屬于B的A事件發(fā)生） | 空集  | 子集  如A發(fā)生，則B也一定發(fā)生 |
在輪盤游戲中假設A代表事件“球落在紅色區(qū)域”，B代表事件"球落在黑色區(qū)域"，C代表事件"球落在綠色區(qū)域"，因為事件A和B沒有共同的單位事件，因此可表示為概率
注意到事件A和B并不是互補的關系，因為在整個事件空間S中還有一個單位事件C，其即不是紅色也不是黑色，而是綠色，因此A，B的補集應該分別表示如下：
一事件A在一事件B確定發(fā)生后會發(fā)生的概率稱為B給之A的條件概率；其數值為
相關事例
人們普遍認為，對將要發(fā)生的機率的一種不好的感覺，或者說不安全感（俗稱“點背”）是實際存在的。下面列出的幾個例子可以形象闡述人們有時對機率存在的錯誤的認識：
（1）六合彩：在六合彩（49選6）中，一共有13983816種可能性，普遍認為，如果每周都買一個不相同的號，最晚可以在
（3）輪盤游戲：在游戲中玩家普遍認為，在連續(xù)出現多次紅色后，出現黑色的機率會越來越大。這種判斷也是錯誤的，即出現黑色的機率每次是相等的，因為球本身并沒有“記憶”，它不會意識到以前都發(fā)生了什么，其機率始終是
（4）三門問題：在電視臺舉辦的猜隱藏在門后面的汽車的游戲節(jié)目中，在參賽者的對面有三扇關閉的門，其中只有一扇門的后面有一輛汽車，其它兩扇門后是山羊。游戲規(guī)則是，參賽者先選擇一扇他認為其后面有汽車的門，但是這扇門仍保持關閉狀態(tài)，緊接著主持人打開沒有被參賽者選擇的另外兩扇門中后面有山羊的一扇門，這時主持人問參賽者，要不要改變主意，選擇另一扇門，以使得贏得汽車的機率更大一些？
有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(
計算
需要提及的是下面將要介紹的9個計算概率的定理與上面已經提及的事件的計算沒有關系，所有關于概率的定理均由概率的3個公理得來，同時適用于包括拉普拉斯概率和統(tǒng)計概率在內的所有概率理論。
定理1
又稱互補法則。
第一次旋轉紅色不出現的概率是
定理2
不可能事件的概率為零。
證明： Q和S是互補事件，按照公理2有
定理3
例如，在一次擲骰子中，得到5點或者6點的概率是：
定理4
如果事件A，B是差集關系，則有
定理5
任意事件加法法則：
對于事件空間S中的任意兩個事件A和B，有如下定理：概率
定理6
乘法法則：
事件A，B同時發(fā)生的概率是：
定理7
無關事件乘法法則：
兩個不相關聯的事件A，B同時發(fā)生的概率是：注意到這個定理實際上是定理6(乘法法則)的特殊情況，如果事件A，B沒有聯系，則有
忽視這一定理是造成許多玩家失敗的根源，普遍認為，經過連續(xù)出現若干次紅色后，黑色出現的概率會越來越大，事實上兩種顏色每次出現的概率是相等的，之前出現的紅色與之后出現的黑色之間沒有任何聯系，因為球本身并沒有"記憶"，它并不"知道"以前都發(fā)生了什么。
所以，連續(xù)10次至少有1次出現紅色的概率為
統(tǒng)計概率
統(tǒng)計概率是建立在頻率理論基礎上的，分別由英國邏輯學家約翰(John Venn,1834-1923)和奧地利數學家理查德(Richard VonMises,1883-1953)提出，他們認為，獲得一個事件的概率值的唯一方法是通過對該事件進行100次，1000次或者甚至10000次的前后相互獨立的n次隨機試驗，針對每次試驗均記錄下絕對頻率值和相對頻率值hn(A)，隨著試驗次數n的增加，會出現如下事實，即相對頻率值會趨于穩(wěn)定，它在一個特定的值上下浮動，也即是說存在著一個極限值P(A)，相對頻率值趨向于這個極限值。
這個極限值被稱為統(tǒng)計概率，表示為：
例如，若想知道在一次擲骰子的隨機試驗中獲得6點的概率值可以對其進行3000次前后獨立的扔擲試驗，在每一次試驗后記錄下出現6點的次數，然后通過計算相對頻率值可以得到趨向于某一個數的統(tǒng)計概率值。
扔擲數 | 獲得6點的絕對頻率 | 獲得6點的相對頻率 |
1 | 1 | 1.00000 |
2 | 1 | 0.50000 |
3 | 1 | 0.33333 |
4 | 1 | 0.25000 |
5 | 2 | 0.40000 |
10 | 2 | 0.20000 |
20 | 5 | 0.25000 |
100 | 12 | 0.12000 |
200 | 39 | 0.19500 |
300 | 46 | 0.15333 |
400 | 72 | 0.18000 |
500 | 76 | 0.15200 |
600 | 102 | 0.17000 |
700 | 120 | 0.17143 |
1000 | 170 | 0.17000 |
2000 | 343 | 0.17150 |
3000 | 560 | 0.16867 |
上面提到的這個有關相對頻率的經驗值又被稱為大數定律，是頻率理論學家定義概率論的基礎。然而沒有人可以將骰子無限地扔下去，因此在實踐中也就無法有力的證明大數定律，許多來自數學理論的論證至今也沒有取得成功。盡管如此，統(tǒng)計概率在今天的實踐中具有重要意義，它是數理統(tǒng)計的基礎。
完全概率
n個事件
例如，一個隨機試驗工具由一個骰子和一個柜子中的三個抽屜組成，抽屜1里有14個白球和6個黑球，抽屜2里有2個白球和8個黑球，抽屜3里有3個白球和7個黑球，試驗規(guī)則是首先擲骰子，如果獲得小于4點，則抽屜1被選擇，如果獲得4點或者5點，則抽屜2被選擇，其他情況選擇抽屜3。然后在選擇的抽屜里隨機抽出一個球，最后抽出的這個球是白球的概率是：
從例子中可看出，完全概率特別適合于分析具有多層結構的隨機試驗的情況。
貝葉斯定理
貝葉斯定理由英國數學家貝葉斯(Thomas Bayes,1702-1761)發(fā)展，用來描述兩個條件概率之間的關系，比如
一座別墅在過去的20年里一共發(fā)生過2次被盜，別墅的主人有一條狗，狗平均每周晚上叫3次，在盜賊入侵時狗叫的概率被估計為0.9，問題是：在狗叫的時候發(fā)生入侵的概率是多少？
人們假設A事件為狗在晚上叫，B為盜賊入侵，則
假設已經抽出紅球為事件B，從容器A里抽出球為事件A，則有：
雖然概率論最早產生于17世紀，然而其公理體系卻在20世紀的20至30年代才建立起來并得到迅速發(fā)展，在過去的半個世紀里概率論在越來越多的新興領域顯示了它的應用性和實用性，例如：物理、化學、生物、醫(yī)學、心理學、社會學、政治學、教育學，經濟學以及幾乎所有的工程學等領域。
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作者
