我們知道, 對于"限制條件為等式,x值均為正值"的最大化問題, 滿足最大化的x組合一定滿足:F(i)(x*)-Σλj Gj(i)(x*)=0, i=1,2,3,.....n, j=1,2,...m. 從這里我們看到,如果限制條件 Gj(x*)=cj 中的 cj 變化 dcj , 如果全部作用于x(i),那么引起的dx(i)=dcj/Gj(i)(x*),從而導致目標方程取值變化dF=F(i)(x*)dcj/Gj(i)(x*)=λj*dcj [注意:對于同一個限制條件j,我們由上一節(jié)已經(jīng)知道必然有: F(i)(x*)/Gj(i)(x*)=F(i')(x*)/Gj(i')(x*)=λj (i不等于i')]. 那么我們得到:λj=dF/dcj.也就是說,拉格朗日乘數(shù)其實代表的是cj對最大化目標函數(shù)F的邊際影響. 雖然這里考慮的是僅僅cj發(fā)生變化,我們可以對此加以推廣,比如整體的c向量發(fā)生變化到 c+dc, dc是一個m-維向量, 那么F的總變化量dF就是Σλj dCj, j=1,2,...m.
舉一個具體的實例: 假如一個計劃經(jīng)濟體系下,政府實施如前所述的最大化問題(在有限資源如勞動力,自然礦產(chǎn),人力資本等的限制下使社會整體效用/福利最大化),并已經(jīng)找到了滿足最大化條件的x組合. 假設(shè)萬能的上帝允許該國的勞動力資源可以額外增加dc1, 那么根據(jù)拉格朗日乘數(shù)的經(jīng)濟學含義我們知道給整個社會帶來的福利將是λ1*dc1. 但是上帝說:要獲得這個額外的勞動力資源,你們必須以一定數(shù)量的其他資源比如土地來跟我交換,以示公平。那么我們?nèi)祟愓撃枚嗌偻恋貋砀系蹞Q呢?指定該土地數(shù)量為dx2,那么由此減少的社會福利是λ2*dc2. 如果λ1*dc1>λ2*dc2,上帝不會答應(yīng),如果反之我們不會答應(yīng)。所以必然有λ1*dc1=λ2*dc2,也就是dc2=(λ1/λ2)dc1. 學過初級微觀的朋友馬上可以看出,這跟微觀經(jīng)濟學中相對價格的概念十分相似。相對價格反映物與物之間的交換價值,即人們愿意怎么樣進行物與物的交換。不同的是,這里的價格不是以錢來計算,而是以社會福利來衡量;這里的相對價格λ1/λ2中的λ1和λ2是基于解決社會福利最大化問題而計算出來的,不同于市場中的價格P1,P2. 由于這個原因,我們把λ叫做"影子價格"(shadow price). 如果我們偶爾發(fā)現(xiàn)某個市場經(jīng)濟下市場價格之比恰恰等于影子價格之比,我們稱這個市場被一雙看不見的手所指引,因為該市場居然可以自發(fā)調(diào)整解決社會福利的最大化問題. 再來考慮"限制條件為非等式"的情況. 我們知道市場價格通常都不可能為零或負數(shù)。但是影子價格確不同,它描述的是限制方程右方cj對整體目標函數(shù)值的邊際影響。在限制條件Gj為非等式的情況下,增加額外的cj不一定就意味著目標函數(shù)值的增加。比如, 限制條件為"社會某消費產(chǎn)品不得高于cj",目標函數(shù)為投資量。如果cj提高,那么消費該產(chǎn)品增加,導致投資量減少,目標函數(shù)值減少。這時影子價格就是一個負值。再比如,目標函數(shù)為產(chǎn)量,限制條件為"同時參加勞動的工人數(shù)量不得高于cj".如果cj增加,那么同時勞動的工人數(shù)量增加,可能導致勞動力邊際產(chǎn)量遞減效應(yīng)的發(fā)生,這時總產(chǎn)量可能不增反降。這時我們情愿不增加工人;換句話說,我們情愿把一些資源放在一旁不予利用(free dsiposal).這時候再增加這些勞動力資源,對總產(chǎn)量已經(jīng)沒有作用了,所以影子價格為零. 事實上,根據(jù)前一節(jié)所述的庫恩-塔克定理,這一點是很明顯的。庫恩-塔克定理說,滿足最大化問題解的x一定使得下面的條件滿足: Lλ(x, λ)>=0, λ>=0, 互補松散
就是說,如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)>0, 那么說明有資源余缺閑置,這時λ=0.如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)=0,那么說明資源全部被使用,其邊際效用λ>0.
注意:這里我們通過對拉格朗日乘數(shù)的解釋考查了cj的微小變動dcj對目標函數(shù)最大值的變化的影響,這就是開篇所說的比較靜態(tài)研究--研究參數(shù)θ的變化對最大值的影響。所以我們在進行比較靜態(tài)研究的時候必須把目標函數(shù)看成是同時關(guān)于x和參數(shù)θ的函數(shù). 基于這一點,我們從另一個角度來看λ的確定. 考察參數(shù)cj,如果cj變化一點點到cj+dcj,那么相應(yīng)地最佳組合x*變動到x*+dx*,最大目標值也由F(x*)變化為F(x*+dx*).由泰勒一階展開我們得到: dF=F(x*+dx*)-F(x*)=Fx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj.根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法一階必要條件,我們有:Fx(x*)=λj Gx(x*),所以dF=λj Gx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj=λj Gx(x*)dx*,我們又知道根據(jù)限制條件方程G(x*)=cj,在cj變化到cj+dcj的過程中,Gx(x*)dx*=dcj,所以dF=λj dcj.同樣推導出了λ的定義式. 更一般地,如果F和G都是關(guān)于x和參數(shù)θ的函數(shù),如果參數(shù)θ變動到θ+dθ,x隨之變動到x+dx,那么: dF=F(x+dx,θ+dθ)-F(x,θ)=Fx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ=λGx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ...(1)
由于G是關(guān)于x和θ的函數(shù)G(x,θ)=c,所以在θ變化的過程中始終有
Gx(x,θ)dx+Gθ(x,θ)dθ=dc...................................................(2)拉格朗日乘數(shù)法
代入(1)式,我們得到:
dF=λdc -λGθ(x,θ)dθ+Fθ(x,θ)dθ=Lθ(x,λ,θ)dθ+λdc....................(3)
這就是最一般化的比較靜態(tài)公式。我們在研究影子價格λ的時候,沒有考慮任何參數(shù)θ的變化,所以公式(3)的第一項為零,這樣dF=λdc.反之,我們在某些情況下不考慮c的變化,而側(cè)重于參數(shù)θ的變化,這時公式(3)變化為: dF=Lθ(x,λ,θ)dθ.如果只有函數(shù)F跟θ有關(guān),而G跟θ無關(guān),那么公式(3)簡化為dF=Fθ(x,θ)dθ. 注意:1. 在參數(shù)θ變化的過程中,θ-->θ+dθ,x-->x+dx,但是對目標函數(shù)值的影響卻只要考慮拉格朗日函數(shù)對θ的偏微分,而且該偏微分在原來最優(yōu)點x處取值。這是我們用泰勒一階展開應(yīng)該得到的結(jié)論. 2.這里的x雖然沒有標上星號*,但不言自明的是它們都應(yīng)該是最優(yōu)組合,而且它們也都是關(guān)于參數(shù)θ的函數(shù)x(θ). 如果我們把最大化了的F定義成一個新函數(shù)最優(yōu)目標方程V(θ),那么由剛剛推導出來的公式(3): dF=Fθ(x,θ)dθ 我們有 Vθ(θ)=Fθ(x(θ),θ). 再次提醒注意,這里的x(θ)是滿足最大化條件的最優(yōu)點。如果我們再定義一個普通目標函數(shù)F(x',θ),但是這里的x'是任意值,不一定是最優(yōu)點x(θ).假設(shè)對應(yīng)這個x'的能使 F 函數(shù)值最大的θ是θ'.那么V(θ)在θ'點處的斜率為:Vθ(θ')=Fθ(x(θ'),θ'). 但我們知道,x(θ')=x'.所以Fθ(x(θ'),θ')=Fθ(x',θ').而后者就是函數(shù)F(x',θ)在點θ'的斜率。這就是說,函數(shù)V(θ)和函數(shù)F(x',θ)在點(x',θ')處的斜率相等. 這個結(jié)論對于x'取任意一個固定值都是成立的,所以從幾何圖形上來看,見圖示,最優(yōu)目標函數(shù)V(θ)把普通目標函數(shù)曲線族緊緊包圍住。因此,dF=Fθ(x,θ)dθ 往往又稱為"包絡(luò)定理"(envelope theorem). 微觀經(jīng)濟學里面的短期成本和長期成本之間的關(guān)系就是符合信封定理的,因為這里的成本都是滿足了成本最小化之后的成本。 均衡原則
微觀經(jīng)濟學研究消費者行為時,所要闡述的核心問題是消費者均衡的原則。所謂消費者均衡指的是一個有理性的消費者所采取的均衡購買行為。進一步說,它是指保證消費者實現(xiàn)效用最大化的均衡購買行為。 但人的需要或欲望是無限的,而滿足需要的手段是有限的。所以微觀經(jīng)濟學所說的效用最大化只能是一種有限制的效用最大化。而這種限制的因素就是各種商品的價格和消費者的貨幣收入水平。
首先,我們先引入一些名詞解釋:
總效用(TU):消費者在一定時間內(nèi)消費一定數(shù)量某種商品或商品組合所得到的總的滿足。 邊際效用(MU):消費者在所有其它商品的消費水平保持不變時,增加消費一單位某種商品所帶來的滿足程度的增加,也就是說指增加一單位某種商品所引起的總效用的增加。
商品數(shù)量(Q),商品價格(P), 收入(I)
邊際效用的公式表達為:MU=?TU/?Q
那么如何才能實現(xiàn)在制約條件下效用最大化的商品組合呢?
就是當消費者把全部收入用于購買各種商品時,他從所購買的每一種商品所得到的邊際效用與其價格的比例都相同,這樣的商品組合就是最佳的或均衡的商品組合。
假設(shè)當消費者選擇兩種商品x,y時,消費者均衡原則的公式表達為: MUx/Px = MUy/Py("/"為分數(shù)線)
制約條件的公式表達式為:I=Px?Qx+Py?Qy。那么這一結(jié)論是如何推導出來的呢?解決這一問題最直接的方法就是拉格朗日乘數(shù)法。
上面說到:在利用偏導數(shù)求多元函數(shù)的極值時,若函數(shù)的自變量有附加條件,則稱之為條件極值。
套用到微觀經(jīng)濟學里面:設(shè)效用函數(shù)U(Qx,Qy),為使它在制約條件下取得極值,首先建立拉格朗日函數(shù):L=U(Qx,Qy)+λ( I-Px?Qx-Py?Qy),λ為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導數(shù),令它們等于零,并與附加條件連立。
即
?L/?Qx=?U/?Qx-λPx=0 ⑴
?L/?Qy=?U/?Qy-λPy=0 ⑵
I-Px?Qx-Py?Qy=0 ⑶
將方程⑴除以方程⑵,得:
?U/?Qx ? Px 即 MUx ? MUy
?U/?Qy Py PX Py
所以,消費者要實現(xiàn)兩種商品的效用最大化,邊際效用的比率應(yīng)該等于價格比率。
以上是關(guān)于x和y兩種商品所說的,是否同樣適用于多種商品呢?答案是肯定的。如果消費者在n種商品中做出選擇,則消費者均衡的原則可表達為:
MU1 ? MU2 ? MU3 ? … ? MUn
P1 P2 P3 Pn
這一結(jié)論同樣可用拉格朗日乘數(shù)法證明。
拉格朗日乘數(shù)法可推廣到求n元函數(shù)?(x1,x2,…,xn)在m個附加條件φ(x1,x2,…,xn)下的條件極值。
方法如下:
m
⑴做拉格朗日函數(shù)L(x1,x2,…,xn)=?(x1,x2,…,xn)+ ∑λiφi(x1,…x2);
i=1
⑵求L(x1,…xn)關(guān)于x1,…xn的偏導數(shù),令它們等于零,并與附加條件聯(lián)立,即
m
L'xi==?'xi+ ∑λiφ'i=0 ,i=1,2,…,n
i=1
φk(x1,x2,…,xn)=0 ,k=1,2,…,n
求解此方程組,可得到極值點。
回到我們的問題中,設(shè)效用函數(shù)U(Qx1,Qx2,…Qxn),為使它在制約條件下取得極值,首先建立拉格朗日函數(shù):
L=U(Qx1,Qx2,…Qxn )+λ(I-Px1?Qx1-P2?Qy2-…-Pxn?Qxn),λ為參數(shù)。求L(x1,x2,…xn)對x1,…,xn的一階偏導數(shù),令它們等于零,并與附加條件聯(lián)立。
即
?L/?Qx1=?U/?Qx1-λPx1=0 (1)
?L/?Qx2=?U/?Qx2-λPx2=0 (2)
…… …
?L/?Qxn=?U/?Qxn-λPxn=0 (n)
I-Px1?Qx1-P2?Qy2-…-Pxn?Qxn
將方程⑴到(n)相除,即得,
MUx1 ? MUx2 ? … ? MUxn
Px1 Px2 Pn
所以,消費者要實現(xiàn)n種商品的效用最大化,邊際效用的比率應(yīng)該等于價格比率。