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漸近線(xiàn)（曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-22

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漸近線(xiàn)

本詞條是多義詞，共2個(gè)義項(xiàng)

曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)

漸近線(xiàn)是指：曲線(xiàn)上一點(diǎn)M沿曲線(xiàn)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)或無(wú)限接近間斷點(diǎn)時(shí)，如果M到一條直線(xiàn)的距離無(wú)限趨近于零，那么這條直線(xiàn)稱(chēng)為這條曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)?？煞譃殂U直漸近線(xiàn)、水平漸近線(xiàn)和斜漸近線(xiàn)。

基本信息

中文名	漸近線(xiàn)
外文名	asymptote
意義	用來(lái)描述曲面上法曲率為零的方向
含義	曲線(xiàn)上一點(diǎn)M沿曲線(xiàn)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)或無(wú)限接近間斷點(diǎn)時(shí)，如果M到一條直線(xiàn)的距離無(wú)限趨近于零
原點(diǎn)	曲線(xiàn)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)
零	直線(xiàn)的距離無(wú)限趨近于零
應(yīng)用學(xué)科	數(shù)學(xué)

收起

定義

當(dāng)曲線(xiàn)上一點(diǎn)

沿曲線(xiàn)無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)或無(wú)限接近間斷點(diǎn)時(shí)，如果

到一條直線(xiàn)的距離無(wú)限趨近于零，那么這條直線(xiàn)稱(chēng)為這條曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。

數(shù)學(xué)上的定義則是：若函數(shù)

的圖形收斂，則漸近線(xiàn)為

。

特點(diǎn)

漸近線(xiàn)分為鉛直漸近線(xiàn)、水平漸近線(xiàn)和斜漸近線(xiàn)。

需要注意的是：并不是所有曲線(xiàn)都有漸近線(xiàn)，漸近線(xiàn)反映了某些曲線(xiàn)在無(wú)限延伸時(shí)的變化情況。

分類(lèi)

根據(jù)漸近線(xiàn)的位置，可將漸近線(xiàn)分為三類(lèi)：水平漸近線(xiàn)、鉛直漸近線(xiàn)、斜漸近線(xiàn)。

對(duì)于拋物線(xiàn)來(lái)說(shuō)，如果當(dāng)

時(shí)，

(

或

)，而且

一般為間斷點(diǎn)，就把

叫做的鉛直漸近線(xiàn)；

如果當(dāng)

時(shí)，

，就把

叫做的水平漸近線(xiàn)。例如，

是曲線(xiàn)

的水平漸近線(xiàn)；

如果當(dāng)

時(shí)，

，其中a和b為常數(shù)，那么

就是

的一條斜漸近線(xiàn)。

求法

求漸近線(xiàn)，可以依據(jù)以下結(jié)論：

雙曲線(xiàn)兩漸近線(xiàn)夾角一半的余弦等于

且

為兩焦點(diǎn)的距離，

為軌跡上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離差。

若極限

存在，且極限

也存在，那么曲線(xiàn)

具有漸近線(xiàn)

。

例：求

漸近線(xiàn)。

解：(1)

為其垂直漸近線(xiàn)。

(2)

，即

；

，即

；

所以

也是其漸近線(xiàn)。

示例

例如，直線(xiàn)

是雙曲線(xiàn)

的漸近線(xiàn)，因?yàn)殡p曲線(xiàn)上的點(diǎn)

到直線(xiàn)的距離

；當(dāng)

無(wú)限趨近于0時(shí)，

也無(wú)限趨近于0。所以按照定義，直線(xiàn)是該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。同理，雙曲線(xiàn)也是該直線(xiàn)的漸近線(xiàn)。

結(jié)論

1.與

漸近線(xiàn)相同的雙曲線(xiàn)的方程，有無(wú)數(shù)條（且焦點(diǎn)可能在

軸或

軸上）；

2.與

漸近線(xiàn)相同的雙曲線(xiàn)可設(shè)為

，進(jìn)行求解；

的漸近線(xiàn)方程為

相關(guān)合集

幾何學(xué)中重要的線(xiàn)的概念

共23個(gè)詞條2589閱讀

線(xiàn)段

由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的線(xiàn)段

射線(xiàn)

由線(xiàn)段的一端延長(zhǎng)形成的直線(xiàn)

直線(xiàn)

構(gòu)成幾何圖形的最基本元素

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