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螺旋運(yùn)動(dòng)（旋轉(zhuǎn)R和平移T的合成運(yùn)動(dòng)）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-17

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螺旋運(yùn)動(dòng)

本詞條是多義詞，共2個(gè)義項(xiàng)

旋轉(zhuǎn)R和平移T的合成運(yùn)動(dòng)

螺旋運(yùn)動(dòng)(helicoidal motion)是一種空間變換，指空間中一個(gè)旋轉(zhuǎn)和一個(gè)移動(dòng)方向與旋轉(zhuǎn)軸平行的平移變換之積。旋轉(zhuǎn)的軸也稱(chēng)為螺旋運(yùn)動(dòng)的軸，旋轉(zhuǎn)的角也稱(chēng)螺旋運(yùn)動(dòng)的角。螺旋運(yùn)動(dòng)是一種空間運(yùn)動(dòng)，其逆變換仍是螺旋運(yùn)動(dòng)。兩螺旋運(yùn)動(dòng)的積是一個(gè)螺旋運(yùn)動(dòng)。任意一個(gè)螺旋運(yùn)動(dòng)可以分解為兩個(gè)軸反射之積，這兩個(gè)軸反射的反射軸是異面直線。空間的螺旋運(yùn)動(dòng)分兩類(lèi)，若用彎曲的右手指表示構(gòu)成螺旋運(yùn)動(dòng)的“旋轉(zhuǎn)”方向時(shí)，伸直的拇指恰表示構(gòu)成螺旋運(yùn)動(dòng)的“移動(dòng)”方向，則稱(chēng)該螺旋運(yùn)動(dòng)是右螺旋運(yùn)動(dòng)，否則稱(chēng)為左螺旋運(yùn)動(dòng)。平移是旋轉(zhuǎn)角為零的螺旋運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)是平移距離為零的螺旋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)螺旋運(yùn)動(dòng)不是平移或旋轉(zhuǎn)時(shí)，沒(méi)有不動(dòng)點(diǎn)，而軸是惟一的不動(dòng)線，又假如螺旋運(yùn)動(dòng)的角不等于kπ(k∈Z)，則它也沒(méi)有不動(dòng)面。

基本信息

中文名	螺旋運(yùn)動(dòng)
外文名	helicoidal motion
拼音	luó xuán yùn dòng
術(shù)語(yǔ)類(lèi)別	數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)
所屬學(xué)科	數(shù)學(xué)

展開(kāi)

基本概念

定義一

所謂螺旋運(yùn)動(dòng)，是指一個(gè)旋轉(zhuǎn)R和一個(gè)平移T的合成運(yùn)動(dòng)，平移沿著旋轉(zhuǎn)的軸。這兩個(gè)過(guò)程的順序無(wú)關(guān)重要(如果平移不是沿著旋轉(zhuǎn)的軸，情況就不同了)，換言之，設(shè)M為一點(diǎn)(如下圖)，沿軸D旋轉(zhuǎn)一個(gè)給定的角度至

(這旋轉(zhuǎn)記作R)，再將

平行于D作一確定的平移T到達(dá)新位置

；如果先將M用平移T到達(dá)

，再將

繞軸D作旋轉(zhuǎn)R，那么依然來(lái)到同樣的位置

。

事實(shí)上，設(shè)m為兩點(diǎn)

在軸上的公共射影，而

為

之射影，則圖形

顯然可由圖形

利用平移

得出。那么前者就和后者一樣是一個(gè)等腰三角形，它的平面垂直于D而頂角等于R的轉(zhuǎn)幅，這就證明了斷言的正確性。

螺旋運(yùn)動(dòng)顯然包括旋轉(zhuǎn)(當(dāng)平移T為零時(shí))和平移(當(dāng)旋轉(zhuǎn)R為零時(shí))作為特殊情況。

備注：當(dāng)我們已知一個(gè)螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，在軸上就確定了一個(gè)正向，即平移的指向。因此，我們說(shuō)一個(gè)螺旋運(yùn)動(dòng)是正的(或右手的)，或者反過(guò)來(lái)說(shuō)是逆的(或左手的)，就看沿著平移的正向所作的旋轉(zhuǎn)是正的還是逆的。

定義二

由繞軸

的旋轉(zhuǎn)和沿著

方向與旋轉(zhuǎn)角成比例的移動(dòng)而合成的運(yùn)動(dòng)，稱(chēng)為螺旋運(yùn)動(dòng)(圖1)。軸

稱(chēng)為螺旋軸。

若

是旋轉(zhuǎn)角(螺旋角)而

是進(jìn)給(平移距離)，則有：

。

比例因子

，稱(chēng)為螺旋參數(shù)。若順著移動(dòng)方向觀察一個(gè)螺旋，當(dāng)旋轉(zhuǎn)為順時(shí)針?lè)较驎r(shí)，這個(gè)螺旋為右螺旋，當(dāng)旋轉(zhuǎn)為逆時(shí)針?lè)较驎r(shí)，這個(gè)螺旋為左螺旋。

可以用p的正負(fù)號(hào)來(lái)確定螺旋的方向：

：右螺旋，

：左螺旋。

定理1 螺旋運(yùn)動(dòng)由繞一條軸的旋轉(zhuǎn)和沿軸向與旋轉(zhuǎn)角成比例的移動(dòng)而形成，它是由螺旋軸，螺旋參數(shù)和螺旋方向，(右螺旋或左螺旋)所確定的。

基本作圖

已知點(diǎn)

和垂直于

的螺旋軸

的水平投影和正面投影，螺旋參數(shù)p和螺旋角

。

求作從

轉(zhuǎn)過(guò)螺旋角

至P的這段螺旋軌跡的水平投影和正面投影。

在水平投影中，螺旋運(yùn)動(dòng)投影為繞

旋轉(zhuǎn)

角的轉(zhuǎn)動(dòng)：

。

在過(guò)

的連系線上。并比

高出進(jìn)給

的距離。這段距離

可以往參數(shù)圓(圓心為

，半徑為p)上取對(duì)應(yīng)于圓心角

的弧而作出。最好用盡可能短的弦求出這段弧長(zhǎng)。 ·

轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)整圈

的平移距離

，稱(chēng)為螺旋的導(dǎo)程。由它可以按照

計(jì)算出螺旋參數(shù)。p也稱(chēng)為轉(zhuǎn)換導(dǎo)程。

螺旋體

幾何形體通過(guò)螺旋運(yùn)動(dòng)形成螺旋體。

點(diǎn)通過(guò)螺旋運(yùn)動(dòng)形成作為軌跡曲線的螺旋線(軌跡螺旋線)；

曲線通過(guò)螺旋運(yùn)動(dòng)形成為運(yùn)動(dòng)曲面的螺旋面；

曲面通過(guò)螺旋運(yùn)動(dòng)形成為包絡(luò)面的螺旋面。

一切螺旋體都可自相旋合。由于這個(gè)緣故，它們?cè)诠こ讨械玫綉?yīng)用。

螺旋線

1. 以p為螺旋參數(shù)，當(dāng)P點(diǎn)繞軸

作螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌跡螺旋線b位于螺旋柱面

(以

為軸、半徑

的回轉(zhuǎn)柱面)上。

由于

，所以在

展開(kāi)后，b成為一條直線。因此，螺旋線b與

的各條素線e相交成定角，對(duì)此有

于是b的切線對(duì)的每個(gè)法面成定坡度。螺旋線b是同坡線(對(duì)的每個(gè)法面而言)。

2. 若將b的切線平移到

上一點(diǎn)R處，則它們形成b的準(zhǔn)錐面

(頂點(diǎn)為R、軸線為

和半張角為

的回轉(zhuǎn)錐面，圖2)。螺旋運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)導(dǎo)圓中的“第一個(gè)導(dǎo)圓”，稱(chēng)為螺旋線b的準(zhǔn)圓

。準(zhǔn)圓平面在R“之下”的距離為p。

任一螺旋切線

，都垂直于通過(guò)其切點(diǎn)P的螺旋柱面半徑。由此得出：

螺旋切線

平行于通過(guò)準(zhǔn)點(diǎn)P*的準(zhǔn)錐面素線

，

在準(zhǔn)圓上，與交點(diǎn)

相差

角(圖3)

定理2 每條螺旋線都是螺旋軸的各個(gè)法面的同坡線，也是常曲率空間曲線。它的密切平面和切線，都與螺旋軸構(gòu)成相同的

角。

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